Здравствуйте, Anastaia!
Преобразуем выражение

sin^4x + cos^4x = sin^2x(1 - cos^2x) + cos^2x(1 - sin^2x) = 1 - 2sin^2xcos^2x = 1 - sin^2(2x)/2

После чего исходное уравнение примет вид

1 - sin^2(2x)/2 = a
откуда

sin^2(2x) = 2 - 2a

Это уравнение имеет решение при 1/2<=a<=0 !!! 1/2 [$8804$] a [$8804$] 1
При а из промежутка [0,1/2] [1/2; 1] находим решение

sin^2(2x) = 2 - 2a => sin2x =±√((2-2a) => 2x = ±arcsin√(2-2a) + 2Пn => x = ±arcsin√(2-2a)/2+ πn/2

Здравствуйте, Anastaia!
(sin(x)^4)+(cos(x)^4) =a (в такой записи в степень возводится не аргумент, а синус или косинус).
Перепишем данное уравнение следующим образом:
(sin(x)^4)+2*(sin(x)^2)*(cos(x)^2)+(cos(x)^4)-2*(sin(x)^2)*(cos(x)^2) =a
Здесь хорошо просматривается выражение для квадрата суммы двух чисел (a+b)^2 =(a^2)+2*a*b+(b^2):
((sin(x)^2)+(cos(x)^2))^2-2*(sin(x)^2)*(cos(x)^2) =a
Однако (sin(alpha)^2)+(cos(alpha)^2) =1 - это основное тригонометрическое тождество:
(1^2)-2*(sin(x)^2)*(cos(x)^2) =a
1-2*(sin(x)^2)*(cos(x)^2) =a
Домножим обе части уравнения на 2:
2-4*(sin(x)^2)*(cos(x)^2) =2*a
2-(2*sin(x)*cos(x))^2 =2*a
По формуле синуса двойного аргумента sin(2*alpha) =2*sin(alpha)*cos(alpha):
2-(sin(2*x)^2) =2*a
Домножим обе части уравнения еще раз на 2:
4-2*(sin(2*x)^2) =4*a
3+(1-2*(sin(2*x)^2)) =4*a
По формуле косинуса двойного угла cos(2*alpha) =1-2*(sin(alpha)^2):
3+cos(4*x) =4*a
cos(4*x) =4*a-3
Так как -1 <=cos(alpha) <=1 (знак <= означает "меньше или равно"), то
-1 <=4*a-3 <=1
2 <=4*a <=4
1/2 <=a <=1 - только при таких значениях параметра a уравнение будет иметь решения. Найдем, что это будут за решения:
cos(4*x) =4*a-3
4*x =(+/-)arccos(4*a-3)+2*pi*n, n - целое число (знак +/- означает "плюс-минус")
x =(+/-)(1/4)*arccos(4*a-3)+(pi/2)*n, n - целое число
Ответ:
При a, принадлежащих отрезку [1/2; 1] уравнение имеет следующие корни:
x =(+/-)(1/4)*arccos(4*a-3)+(pi/2)*n, n - целое число
При a, не принадлежащих вышеуказанному отрезку, решений исходного уравнения не существует.
Примечание.
Ответ можно получить в несколько ином виде, основываться на решении уравнении через синус, а не через косинус (в частности, в выражении корней уравнения будет фигурировать арксинус некоторого выражения). Однако приведенное решение несколько короче, а полученный ответ - компактнее.