Консультация онлайн # 161346

Раздел: Математика
Автор вопроса: Almatinec
Дата: 25.02.2009, 06:51 Консультация неактивна
Поступило ответов: 1
Здравствуйте. Подскажите пожалуйста как определить порядок матрицы если известно что: det(adjA)=2; det[A(adjA)]=4; detA=2;

Ответ # 1, Izmtimur (Посетитель)

Здравствуйте, Almatinec!
Насколько я понимаю, adj означает adjugate - дополнительная, присоединенная.
Полагаю, что имеется в виду матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов и затем транспонированная. То есть
A^-1 = adj A / det A (одно из определений обратной матрицы)
Если мое предположение верно, то решение задачи выглядит следующим образом:
Возьмем детерминант от обеих частей приведенного выше выражения:
det(A^-1) = det(adj A / det A) (1)
Рассмотрим выражение det(adj A / det A):
det(adj A / det A)=det((1/det A)*adj A)=((1/det A)^n)*det(adj A)=det(adj A)/(det A)^n,
где n - порядок (число строк/столбцов) матрицы A (по порядку матрицы A и adj A совпадают).
Здесь мы воспользовались известным свойством определителя
det(k*A)=(k^n)*det(A), где n - порядок матрицы A
Теперь рассмотрим левую часть равенства (1). Еще одно свойство определителя матрицы говорит о том, что det(A^-1)=1/det(A). Это, в частности, следует из того, что det(A)*det(B)=det(AB), в то время как (A^-1)*A=E, где E - единичная матрица, определитель которой равен 1.
Итак,
1/det(A)=det(adj A)/(det A)^n
(det A)^(n-1)=det(adj A)
Но det(adj A)=2 (1-ое данное по условию соотношение) и det(A)=2 (3-е соотношение). Подставляя эти значения в уравнение, получим:
2^(n-1)=2
n-1=1
n=2
Таким образом, осталось неиспользованным 2-ое соотношение. Это довольно странное обстоятельство. Однако если считать, что это соотношение означает буквально
det(A*(adj A))=4,
что, как мне думается, и имелось в виду, то оно лишь является произведением 1-го и 3-го соотношений (см. приведенное выше свойство определителя матрицы) и, следовательно, не вступает в конфликт с найденным решением. Вопрос только в том, зачем оно тут нужно - просто дополнительное лишнее условие.
Впрочем, возможно, я ошибаюсь в трактовке данных соотношений или просто не улавливаю ошибки в собственном решении.
P.S. Интересно, а где Вам встретилась подобная задача? Просто, по-моему, в отечетственной литературе обычно не применяется обозначение adj, даже математическая энциклопедия трактует обратную матрицу как матрицу "A^-1=||cij||, где cij = Aij/det A, Aij - алгебраическое дополнение элемента aij."

Izmtimur

Посетитель
25.02.2009, 20:58
Нет оценки ответа

Мини-форум консультации # 161346

Лысков Игорь Витальевич

Советник

ID: 7438

177765

= общий =    25.02.2009, 12:15
Не могли бы Вы уточнить, что понимается под adjA и A(adjA)?
=====
"Если вы заметили, что вы на стороне большинства, —
это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.