Здравствуйте, Litta!
Данное выражение является неопределенностью вида [1^бесконечность]. Преобразуем его так, чтобы в нем фигурировала неопределенность вида [0/0].
1) Преобразуем выражение в скобках следующим образом:
((1+x)^(1/x))/e=1+((1+x)^(1/x))/e-1=1+((1+x)^(1/x)-e)/e
Обозначим
t=((1+x)^(1/x)-e)/e
Очевидно, что при x->0 t->0 (так предел выражения (1+x)^(1/x) при x->0 равен e - это первый замечательный предел).
2) Домножим и разделим показатель степени всего выражения на t. Получим:
(1+t)^((1/t)*(t/x))=((1+t)^(1/t))^(t/x)
Предел данного выражения уже не является неопределенностью, так как предел основания степени <> 1, а предел показателя степени (как вскоре выяснится) <> 0.
Итак:
а) Предел основания степени
при x->0 t->0 и lim((1+t)^(1/t))=e - вновь первый замечательный предел.
б) Предел показателя степени
Предел дроби t/x - неопределенность вида [0/0]. Применим к этой неопределенности 3 раза правило Лопиталя:
1. lim(t/x)=lim(t'/1)=lim(t')
Обозначим s=(1+x)^(1/x). Тогда
t'=((s-e)/e)'=s'/e
Поэтому
lim(t')=lim(s'/e)=lim(s')/e
В итоге имеем lim(t/x)=lim(s')/e.
Для того чтобы найти производную s по x воспользуемся логарифмическим дифференцированием:
ln(s)=(1/x)*ln(1+x)=ln(1+x)/x
(ln(s))'=s'/s=((1/(1+x))*x-1*ln(1+x))/(x^2)=(x-(1+x)*ln(1+x))/((1+x)*(x^2))
s'=s*(x-(1+x)*ln(1+x))/((1+x)*(x^2))
Обозначим
h=(x-(1+x)*ln(1+x))/(x^2)
Тогда предел s' равен
lim(s)/lim(1+x)*lim(h)=e/1*lim(h)=e*lim(h)
Итак,
lim(t/x)=e*lim(h)/e=lim(h)
2. Выражение lim(h) является неопределенностью [0/0]. Применим к нему правило Лопиталя (второй раз):
lim(h)=lim((x-(1+x)*ln(1+x))/(x^2))=lim((x-(1+x)*ln(1+x))'/(x^2)')=lim((1-1*ln(1+x)-(1+x)/(1+x))/(2*x))=lim((1-ln(1+x)-1)/(2*x))=lim((-ln(1+x))/(2*x))
3. Полученное выражение также является неопределенностью вида [0/0]. Применим к нему правило Лопиталя в третий (и последний) раз:
lim((-ln(1+x))/(2*x))=lim((-ln(1+x))'/(2*x)')=lim((-1/(1+x))/2)=(-1/2)/lim(1+x)=-1/2
Итак, показатель степени равен -1/2. Так как основание степени равно e, то вся степень равна
e^(-1/2)=1/(e^(1/2))=1/sqrt(e)
Здесь sqrt() - обозначение квадратного корня числа.
P.S. Прошу прощения за многочисленные переобозначения. Просто в такой форме ответ нагляднее и короче.