Если попытаться решить эту задачу через сохранение импульса,
то нарушается баланс энергий до и после удара.
Что противоречит условию упругого удара.

m1*v1^2/2= k*x^2/2
v1= sqrt(k*x^2/m1)
p02= p1+p2
m2*v0= m1*v1- m2*(v0/2)
v0*m2*(3/2)= m1*v1
v0= (2/3)*m1*v1/m2= (2/3)*m1*sqrt(k*x^2/m1)/m2
v0= (2/3)*1*sqrt(400*2e-2^2/1)/0.2= 1,33333 (м/с)

E20= m2*v0^2/2= 0.2*1.33333^2/2= 0,177777
E2= m2*(v0/2)^2/2= 0.2*(1.33333/2)^2/2= 0,044444
E1= m1*v1^2/2= k*x^2/2= 400*2e-2^2/2= 0,080000

E20= E2+E1
E2+E1= 0,044444+0,080000= 0,124444 != E20= 0,177777
___
Насколько я понимаю механизм этого взаимодействия.
Импульсы в этой задаче все таки сохраняются.
Но для вычисления импульса бруска нельзя брать его максимальную скорость.

Да, интересное кино получается :)
Оба ответа неправильные, но автор задачи ожидает именно то, что написал Baybak.
А правильный ответ: такого не бывает. При этих массах шарик не может отскочить с половинной скоростью при упругом ударе. Если вычеркнуть из условия данное m=1кг, решения Baybakа станет абсолютно верным.

Для Химика СН:
При столкновении (или ином взаимодействии) тел импульс сохраняется всегда!
Это неверно. Импульс сохраняется только в замкнутой системе. В этой задаче система из двух шариков незамкнута - на неё действует пружина. Если время удара мало, и брусок сдвинуться не успеет, то можно считать, что импульс сохраняется, однако в условии про это ничего не написано и такая версия противоречит другим данным в условии.

В данном случае удар не является ни абсолютно неупругим.
В условии задачи написано, что удар упругий. Это означает, что механическая энергия в другие формы не уходит. Слово "абсолютно" используется довольно редко.

------------------
Упругий лобовой удар двух тел в отсутствие внешних сил - известная задача. Налетающий отскочет со скоростью (m-M)(m+M)v_0, что при нашем отношении масс равно 2/3, а не половина. Так было бы без пружины. Хочется отсюда сделать вывод, что за время удара груз заметно сдвинулся (грузы из мягкого материала и соударяются долго), но это не спасёт, т.к. из-за пружины скорость может только увеличиться, а у нас и так больше, чем нужно.

Спасибо за замечания и за участие в обсуждении.
Я таки убедился, что мое решение неправильное.

Меня сбило с толку условие в задаче, что удар упругий.
И подумал, что возможно выдумать механизм, который за счет изменения времени взаимодействия тел,
сможет выполнить все условия заданные в задаче ( и об упругости и об половине скорости отскока).
Перебрав все варианты, которые смог придумать, понял, что без перевода части энергии во внутреннюю, этого сделать нельзя. (При данных в условии цифрах.)

По-моему эту задачу надо решать
и для сохранения импульса и для сохранения энергии
и убедившись, что цифры разные
дать ответ на эту задачу:
"Описанной в задаче ситуации, при заданных в условии числах, быть не может."

Для Дмитрий DA
По поводу того, что эта система не замкнута.
А может эту систему все таки можно считать замкнутой.
Рассматривая закрепленный на пружинке брусок как два скрепленных пружиной бруска
один из условия, а масса второго бесконечная.
Тогда импульсы до и после удара будут одинаковые.
И возможность исключения из правила сохранения импульса не будет сбивать с толку, как получилось у меня.

Я таки убедился, что мое решение неправильное.
У некорректной задачи не может быть правильного решения. Претензии тут могут быть только к её составителю. Можно обсуждать лишь "ожидаемое" решение.

А может эту систему все таки можно считать замкнутой. Рассматривая закрепленный на пружинке брусок как два скрепленных пружиной бруска
один из условия, а масса второго бесконечная.
Вопрос в том, о какой системе речь. Это решаем мы. Если включить Землю, система станет замкнутой, но это не помогает решить задачу. ЗСИ ведь нужен, чтобы получить ещё одно уравнение на скорости.
И задачу это не спасает.

Проще всего "не обращать внимания" на 1кг в условии