Консультация онлайн # 161093

Раздел: Математика
Автор вопроса: Kafka
Дата: 21.02.2009, 21:36 Консультация неактивна
Поступило ответов: 1
С основания высоты правильной треугольной пирамиды на боковое ребро опущен перпендикуляр, который равняется а. Найти объем пирамиды, если двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды равняется альфа.

Буду благодарна любой помощи!!!

Ответ # 1, Botsman (Посетитель)

Здравствуйте, Kafka!
Помогаю :)
Формула объема пирамиды: V=(1/3)*Sосн*H, где Sосн- площадь основания пирамиды, а H - ее высота.
Поскольку пирамида правильная, то ее основание - правильный треугольник АВС, для которого точка О - основание пирамиды есть центр вписанной и описанной окружности и точка пересечения его медиан(являющихся одновременно высотами и биссектрисами). Рассмотрим медиану АМ. Поскольку медианы треугльника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1 считая от вершины, то АО = 2*ОМ, а т.к. АМ еще и высота, то по условию ОМ = а, отсюда АМ = 3а.
Из прямоугольного треугольника АМВ, в котором угол В равен 60 градусов (поскольку АВС - правильный треугольник), находим AB = AM/sin(60 градусов) = 3a/(sqrt(3)/2) = 2a*sqrt(3)
Находим площадь треугольника АВС = 0,5*BC*AM = 0.5*AB*AM = 0.5*2a*sqrt(3)*3а = 3(a^2)sqrt(3)
Т.е.Sосн = 3(a^2)sqrt(3)
Пусть D - вершина заданной пирамиды.
Из прямоугольного треугольника DOM, в котором угол М=альфа,ОМ = а, находим высоту пирамиды H = OD = OM*tg(альфа) = a*tg(альфа).
подставляя найденные площадь основания и высоту в указанную ранее формулу, найдем объем пирамиды.
V=(1/3)*Sосн*H =(1/3)* 3(a^2)sqrt(3)*a*tg(альфа) = (a^3)sqrt(3)tg(альфа)
Ответ: V=(a^3)sqrt(3)tg(альфа)
К сожалению,и здесь не имею технической возможности привести чертеж, но из описания должно быть все понятно. По-моему.
Рад был помочь. :)


Botsman

Посетитель
22.02.2009, 00:03
Нет оценки ответа

Мини-форум консультации # 161093


Нет сообщений в мини-форуме
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.