Здравствуйте, Denis Serg!
1) Длина тела, движущегося со скоростью V, согласно преобразованию Лоренца, равна: L = L
0∙√(1 - (V/c)
2) (1), где L
0 - длина тела в состоянии покоя, c - скорость света. Полная масса тела, движущегося со скоростью V, согласно преобразованию Лоренца, равна: M = m
0/(1 - (V/c)
2)) (2), где m
0 - масса покоя. Кинетическая энергия тела, движущегося со скоростью V, равна: K = M*V
2/2 = (m
0/(1 - (V/c)
2))*V
2/2 (3). Возведя обе части (1) в квадрат, получаем: (L/L
0)
2 = 1 - (V/c)
2 (4) и V
2 = (1 - (L/L
0)
2)*c
2 (5); после подстановки (4) в (2): M = m
0*(L
0/L)
2 (6). Подставляя (5) и (6) в (3), после сокращений: K = m
0*c
2*((L
0/L)
2 - 1)/2, а применительно к электрону: K
e = m
e*c
2*((L
0/L)
2 - 1)/2 (7), где m
e - масса покоя электрона. Ускоряющая разность потенциалов U совершает работу W = U*e, где e - заряд электрона. Приравняв W = K
e и введя "удельный заряд электрона" e/m
e = 1.7588*10
11 Кл/кг, получаем: U = c
2*((L
0/L)
2 - 1)/(2*e/m
e) (8), а после подстановки c = 2.9979*10
8 м/с: U = (2.9979*10
8)
2*((L
0/L)
2 - 1)/(2*1.7588*10
11) = 255.5*((L
0/L)
2 - 1) кВ; поскольку, согласно условию задачи L
0/L = 2, U = 255.5*3 = 766.5 кВ.
2) Такой стержень представляет собой "физический маятник" - твёрдое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести (см
здесь, а также Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 1, Механика. - М.: 1979, с. 210). Приведённая длина - это условная характеристика физического маятника. Она численно равна длине L
(0) математического маятника, период которого равен периоду данного физического маятника. Приведённая длина физического маятника вычисляется следующим образом: L
пр = J/(m*x) (1), где J - момент инерции относительно точки подвеса, m - масса, x - расстояние от точки подвеса до центра масс. В данном случае требуется: L
пр = L
(0) (2). Момент инерции относительно точки подвеса определяется по "теореме Штейнера": J = J
ц + m*x
2 (3), где J
ц - момент инерции относительно центра стержня; J
ц = m*L
2/12 (4) (см.
Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей). После подстановки выражений (1), (3) и (4) в равенство (2), сокращения на m и освобождения от знаменателя получаем квадратное уравнение: x
2 - L
(0)*x + L
2/12 = 0; в конкретных числах оно имеет 2 решения: x
1 = 30 см; x
2 = 10 см;