Здравствуйте, Мария Романова!
Здесь (http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme28/theory.asp) вы можете почитать теорию, а вот решение вашей задачи

1) grad z - это вектор, составленный из частных производных ф-ции z
grad z = {dz/dx,dz/dy}
Находим частные производные по каждой из переменных, считая при этом вторую константой:
dz/dx = (y^2)/(1+x^2*y^4)
dz/dy = 2xy/(1+x^2*y^4)

Подставляя x0 и y0, найдем значения частных производных в точке А:
dz/dx = 9/(1+4*81) = 9/325
dz/dy = 12/(1+4*81) = 12/325

Таким образом, в точке А(2;3) grad z = {9/325,12/325}

2) Производная по направлению представляет собой скалярное произведение единичного вектора l (составленного из направляющих косинусов заданного вектора) и вектора grad z с координатами {dz/dx,dz/dy}
В нашем случае вектор l имеет координаты {4/5,-3/5}
вычисляем скалярное произведение grad z и l как сумму произведений соответствующих координат векторов
4/5 * 9/325 + (-3/5) * 12/325 = (36-36)/(325*5) = 0
Т.е. производная функции z=arctg(xy^2) в точке А(2,3) по направлению вектора а(4,-3) равна 0.