Васильев Федор Иванович, купить машину Вы можете где угодно, в том числе и "там", а вот поставить на рег.учет обязаны (по мнению ГИБДД) исключительно по месту своей регистрации как гражданина, то бишь в Чебоксарах. Само собой при покупке авто снимается с учета по месту прошлой регистрации ("там") и Вам выдаются временные знаки "транзит" для перемещения авто по территории страны до Вашего города.
Купля-продажа авто не является сделкой требующей нотариальной формы оформления договора, поэтому оформить ее можно в простой письменной (двусторонний договор, с подписями и датой + акт приема-передачи и, возможно, справка-счет).
Как совет, обязательно посмотрите правоподтверждающие документы владельца, среди которых это не только предыдущий договор купли-продажи авто и всякие ПТСы, но и документы, подтверждающие оплату авто прежним владельцем в полном размере за счет своих средств, чтоб не оказалось такого, что Вы купили авто, находящееся в залоге у какого-нибудь банка по кредитному договору. Помните, что при залоге принцип "добросовестного покупателя" не действует.