Здравствуйте, Stepanov92!
Решение.

Обозначим через 2x и 2y отрезки медиан, проведенных к сторонам a и b соответственно, заключенные между вершинами, из которых они проведены, и точкой их пересечения. Тогда, по свойству медианы, оставшиеся части медиан будут соответственно равны x и y.

Применяя теорему Пифагора (медианы перпендикулярны по условию), получим два уравнения:
4x² + y² = b²)/4,
x² + 4y² = a²)/4.

Умножая второе уравнение на 4 и отнимая от него первое, получим
15y² = a² – b²/4,
y²= (1/15)(a² – b²/4).

Умножая первое уравнение на 4 и отнимая от него второе, получим
15x² = b² – a²/4,
x² = (1/15)(b² – a²/4).

Поскольку
4x² + 4y² = c²,
постольку
c² = 4(1/15)(b² – a²/4 + a² – b²/4) = (1/5)(a² + b²).
c = √[(1/5)(a^2 + b^2)].

Ответ: c = √[(1/5)(a² + b²)].

С уважением.