Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 109244
13.11.2007, 17:03
0.00 руб.
0 1 1
Образование
Найти точки пересечения асимптот гипербол x^2-3y^2-12=0; с окружностью с центром в левом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.

Обсуждение

Неизвестный
15.11.2007, 17:13
общий
это ответ
Здравствуйте, Packbar!
Приведём уравнение гиперболы к каноническому виду:
x²/12 – y²/4 = 1.
a = √12 = 2√3, b = √4 = 2.

Уравнения асимптот гиперболы имеют вид
y = ±bx/a.
Значит,
y<sub>1</sub> = x/√3, y<sub>2</sub> = -x/√3 — уравнения асимптот данной гиперболы.

c² = a² + b² = 16, c = 4.
Фокусы гиперболы имеют координаты F<sub>1</sub>(-c;0) = F<sub>1</sub>(-4;0) и F<sub>2</sub>(c;0) = F<sub>2</sub>(4;0).

Радиус окружности с центром в F<sub>1</sub>(-4;0), проходящей через начало координат O(0;0), равен
r = |OF<sub>1</sub>| = 4.
Значит, окружность имеет следующее уравнение:
(x+4)² + y² = 16.

Найдём точки пересечения этой окружности с асимптотами гиперболы. Для этого решим две системы уравнений.

1.
y = x/√3,
(x+4)² + y² = 16;

y = x/√3,
(x+4)² + x²/3 – 16 = 0;

y = x/√3,
4x²/3 + 8x = 0;

y = x/√3,
x<sub>1</sub> = 0, x<sub>2</sub> = -6.

Получили две точки: (0;0) и (-6;-2√3).

2.
y = -x/√3,
(x+4)² + y² = 16;

y = -x/√3,
(x+4)² + x²/3 – 16 = 0;

y = -x/√3,
4x²/3 + 8x = 0;

y = -x/√3,
x<sub>1</sub> = 0, x<sub>2</sub> = -6.

Получили две точки: (0;0) и (-6;2√3).

Рисунок во вложенном файле.

Ответ: (0;0), (-6;2√3), (-6;-2√3).
Форма ответа