Лидеры рейтинга

ID: 401284

Михаил Александров

Советник

376

Россия, Санкт-Петербург


ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

357

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 401888

puporev

Профессор

215

Россия, Пермский край


ID: 405338

vovaromanov.jr

1-й класс

125


ID: 400669

epimkin

Профессионал

111


ID: 242862

Hunter7007

Мастер-Эксперт

29

Россия, Омск


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

25

Беларусь, Гомель


8.10.2

13.10.2021

JS: 2.10.2
CSS: 4.6.0
jQuery: 3.6.0
DataForLocalStorage: 2021-10-20 22:46:01-standard


Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)

Консультация онлайн # 108987

Раздел: Математика
Автор вопроса: Timon
Дата: 11.11.2007, 23:49 Консультация закрыта
Поступило ответов: 1

Пожалуйста нпомогите решить задачу! Просто я не особо такие шарю! А время поджимает!

Основанием пирамиды TABCD служит равнобедренный треугольник ABC с боковой стороной AB=5 и медианой BD=4, проведенной к основанию AC. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через медиану боковой грани TD, если высота пирамиды равна 12, а все боковые грани одинаково наклонены к основанию?

Ответ # 193416 от Воробьёв Алексей Викторович
Здравствуйте, Timon!

Пожалуйста нпомогите решить задачу! Просто я не особо такие шарю! А время поджимает!

Основанием пирамиды TABCD служит равнобедренный треугольник ABC с боковой стороной AB=5 и медианой BD=4, проведенной к основанию AC.
Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через медиану боковой грани TD, если высота пирамиды равна 12, а все боковые грани одинаково наклонены к основанию?

Построим проекцию пирамиды на плоскость основания ABC.
Проекции высот боковых сторон будут перпендикулярами, опущенными из проекции O вершины T к сторонам основания.
Если рассмотреть получившиеся треугольники OTD, OTE, OTF, где E и F - основания перепндикуляров, то все эти треугольники прямоугольные, с одинаковым углом при гипотенузе (угол наклона грани к основанию) и одинаковой стороной OT, противолежащей этому углу.
Тогда OD = OE = OF, т.е. O - центр вписанной в ABC окружности, т.е. лежит на пересечении биссектрис углов.
ABC - равнобедренный, т.е. BD - высота, т.е. ABD - прямоугольный с гипотенузой AB=5 и катетом BD=4, т.е. другой катет AD=3.
cos(A)=3/5. cos(A/2) = sqrt((1 + cos(A))/2) = 2/sqrt(5). sin(A/2) = sqrt((1 - cos(A))/2) = 1/sqrt(5). tg(A/2) = 1/2.
Тогда OD = (1/2)*AD = 3/2.
При проведении сечений через TD мы всегда получим в сечении треугольник с основанием TD и вершиной на AB или BC.
Из симметрии можем рассматривать только AB.
Высота треугольника будет минимальна, когда равна расстоянию между скрещивающимися прямыми TD и AB, т.е. когда перпендикулярен и AB и TD.
Выберем систему координат с началом в D, осью x вдоль AC, осью y вдоль DB, осью z перпендикулярной ABC.
Точки на прямой AB описываются уравнением (-3 + 3a, 4a, 0). Точки на прямой TD описываются (0, (3/2)b, 12b).
Вектор соединяющий эти точки (3 - 3a, (3/2)b - 4a, 12b) должен быть перепендикулярен направляющему вектору AB (3, 4, 0), и направляющему вектору TD (0, (3/2), 12).
Т.е. векторное произведение должно быть равно 0.
3*(3 - 3a) + 4((3/2)b - 4a) = 0
(3/2)*((3/2)b - 4a) + 12*12b = 0
Тут у меня всё в разнос пошло.
9 - 25a + 6b = 0
(9/4)b - 6a + 144b = 0 => a = (24+3/8)b
9 - 25(24+3/8)b + 6b = 0 => b = 24/1609, a = 585/1609
Наш вектор тогда (3072/1609,-2304/1609,288/1609)
Площадь треугольника S = (1/2)*Sqrt((3072/1609)^2 + (-2304/1609)^2 + (288/1609}^2)*sqrt((3/2)^2 + 126^2) = 72*sqrt(65/1609).
Я проверил свои вычисления при помощи "Математики". Мне кажется, что ошибка в задании высоты, хотя я и сам мог ошибиться (я несколько раз подставлял OD = 2 вместо 1.5).


Воробьёв Алексей Викторович

Посетитель
12.11.2007, 13:48
Мини-форум консультации # 108987
Нет сообщений в мини-форуме
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Лучшие эксперты раздела

Михаил Александров

Советник

Рейтинг: 376

epimkin

Профессионал

Рейтинг: 111

Gluck

8-й класс

Рейтинг: 60

Коцюрбенко Алексей Владимирович

Старший модератор

Рейтинг: 47

Konstantin Shvetski

Модератор

Рейтинг: 5

planovichka777

1-й класс

Рейтинг: 3