Здравствуйте, Timon!

Пожалуйста нпомогите решить задачу! Просто я не особо такие шарю! А время поджимает!

Основанием пирамиды TABCD служит равнобедренный треугольник ABC с боковой стороной AB=5 и медианой BD=4, проведенной к основанию AC.
Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через медиану боковой грани TD, если высота пирамиды равна 12, а все боковые грани одинаково наклонены к основанию?

Построим проекцию пирамиды на плоскость основания ABC.
Проекции высот боковых сторон будут перпендикулярами, опущенными из проекции O вершины T к сторонам основания.
Если рассмотреть получившиеся треугольники OTD, OTE, OTF, где E и F - основания перепндикуляров, то все эти треугольники прямоугольные, с одинаковым углом при гипотенузе (угол наклона грани к основанию) и одинаковой стороной OT, противолежащей этому углу.
Тогда OD = OE = OF, т.е. O - центр вписанной в ABC окружности, т.е. лежит на пересечении биссектрис углов.
ABC - равнобедренный, т.е. BD - высота, т.е. ABD - прямоугольный с гипотенузой AB=5 и катетом BD=4, т.е. другой катет AD=3.
cos(A)=3/5. cos(A/2) = sqrt((1 + cos(A))/2) = 2/sqrt(5). sin(A/2) = sqrt((1 - cos(A))/2) = 1/sqrt(5). tg(A/2) = 1/2.
Тогда OD = (1/2)*AD = 3/2.
При проведении сечений через TD мы всегда получим в сечении треугольник с основанием TD и вершиной на AB или BC.
Из симметрии можем рассматривать только AB.
Высота треугольника будет минимальна, когда равна расстоянию между скрещивающимися прямыми TD и AB, т.е. когда перпендикулярен и AB и TD.
Выберем систему координат с началом в D, осью x вдоль AC, осью y вдоль DB, осью z перпендикулярной ABC.
Точки на прямой AB описываются уравнением (-3 + 3a, 4a, 0). Точки на прямой TD описываются (0, (3/2)b, 12b).
Вектор соединяющий эти точки (3 - 3a, (3/2)b - 4a, 12b) должен быть перепендикулярен направляющему вектору AB (3, 4, 0), и направляющему вектору TD (0, (3/2), 12).
Т.е. векторное произведение должно быть равно 0.
3*(3 - 3a) + 4((3/2)b - 4a) = 0
(3/2)*((3/2)b - 4a) + 12*12b = 0
Тут у меня всё в разнос пошло.
9 - 25a + 6b = 0
(9/4)b - 6a + 144b = 0 => a = (24+3/8)b
9 - 25(24+3/8)b + 6b = 0 => b = 24/1609, a = 585/1609
Наш вектор тогда (3072/1609,-2304/1609,288/1609)
Площадь треугольника S = (1/2)*Sqrt((3072/1609)^2 + (-2304/1609)^2 + (288/1609}^2)*sqrt((3/2)^2 + 126^2) = 72*sqrt(65/1609).
Я проверил свои вычисления при помощи "Математики". Мне кажется, что ошибка в задании высоты, хотя я и сам мог ошибиться (я несколько раз подставлял OD = 2 вместо 1.5).