Лидеры рейтинга

ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

379

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 401284

Михаил Александров

Советник

378

Россия, Санкт-Петербург


ID: 401888

puporev

Профессор

216

Россия, Пермский край


ID: 405338

vovaromanov.jr

1-й класс

130


ID: 400669

epimkin

Профессионал

112


ID: 242862

Hunter7007

Мастер-Эксперт

30

Россия, Омск


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

26

Беларусь, Гомель


8.10.2

13.10.2021

JS: 2.10.2
CSS: 4.6.0
jQuery: 3.6.0
DataForLocalStorage: 2021-10-19 15:16:08-standard


Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)

Консультация онлайн # 108968

Раздел: Математика
Автор вопроса: Агеева Вера Николаевна
Дата: 11.11.2007, 20:22 Консультация закрыта
Поступило ответов: 1

Кто-нибудь в курсе, как решается обобщенная задача Бюффона?
Стол разграфлен перпендикулярно-пересекающемися линиями, которые образуют бесконечное множество прямоугольников с длинами сторон a и b, на стол случайным образом бросается игла длиной 2L, L < a,b. Какова вероятность того, что игла пересечет какую-то линию ?

Ответ # 193392 от Воробьёв Алексей Викторович
Здравствуйте, Агеева Вера Николаевна!

Кто-нибудь в курсе, как решается обобщенная задача Бюффона?
Стол разграфлен перпендикулярно-пересекающемися линиями, которые образуют бесконечное множество прямоугольников с длинами сторон a и b, на стол случайным образом бросается игла длиной 2L, L < a,b. Какова вероятность того, что игла пересечет какую-то линию ?

Посмотрите http://kvant.mccme.ru/1983/05/obman_ili_zabluzhdenie.htm как решается классическая задача Бюффона.
Обобщение следует из этой статьи.
После падения иглы рассмотрим прямоугольник, в котором находится середина иглы.
Построим систему координат с центром в середине прямоугольника и с осями параллельными разметке так, чтобы середина иглы была в 1-м квадранте.
Пусть координаты сердины иглы (x, y) и игла повёрнута на угол ф от оси x.
Тогда её дальний конец по горизонтали имеет координату x + L/2*cos(ф), а по вертикали y + L/2*|sin(ф)|.
Заметьте, что это могут быть разные концы. Игла НЕ пересекает линий, если x + L/2*cos(ф) < a/2 и y + L/2*|sin(ф)| < b/2.
При фиксированном угле ф этому соответствует прямоугольник размерами (a/2 - L/2*cos(Ф))(b/2 - L/2*|sin(ф)|).
Плотность вероятности попадения в такой прямоугольник равна (a/2 - L/2*cos(Ф))(b/2 - L/2*|sin(ф)|)/(a/2*b/2) = (a - L*cos(ф))(b - L*|sin(Ф)|)/(a*b)
Чтобы найти вероятность, что игла не пересечёт при произвольном угле от -Pi/2 до Pi/2 нам нужно проинтегрировать эту по всем углам ф и разелить на диапазон интегрирования.
В силу чётности функции мы можем интегрировать только от 0 до Pi/2 и делить на Pi/2.
В этом диапазоне мы можем заменить |sin(ф)| = sin(ф).
Integral(0, Pi/2, (a - L*cos(ф))(b - L*sin(Ф))/(a*b)) = Integral(0, Pi/2, 1 - (L/b)sin(Ф) - (L/a)*cos(ф) + L^2/(a*b)*sin(Ф)*cos(ф)) =
= ф + (L/b)cos(ф) - (L/a)sin(ф) - L^2/(4*a*b)cos(2ф) | (0, Pi/2) = Pi/2 - (L/b) - (L/a) + L^2/(2*a*b)
Итого, вероятность, что игла не попадёт на линию равна 1 - 2*[L/b + L/a - L^2/(2*a*b)]/Pi, а вероятность, что попадёт 2*[L/b + L/a - L^2/(2*a*b)]/Pi.
Условие L < a,b нам было нужно, чтобы мы могли выбирать любые углы и ставить соответствующие пределы.
Если устремить одну из величин (b) к бесконечности, то получим вероятность (2*L)/(a*Pi) как в стандартной задаче.
Если взять a = b = L, то получим вероятность попадания 3/Pi.

Воробьёв Алексей Викторович

Посетитель
12.11.2007, 12:20
Мини-форум консультации # 108968
Нет сообщений в мини-форуме
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Лучшие эксперты раздела

Михаил Александров

Советник

Рейтинг: 378

epimkin

Профессионал

Рейтинг: 112

Gluck

8-й класс

Рейтинг: 61

Коцюрбенко Алексей Владимирович

Старший модератор

Рейтинг: 48

Konstantin Shvetski

Модератор

Рейтинг: 6

planovichka777

1-й класс

Рейтинг: 4