Здравствуйте, Татьянка!
int(arccosxdx)=|u=arccosx,du=(arccosx)‘dx=-dx/sqrt(1-x^2);dv=dx,v=x|=
=|интегрирование по частям uv-int(vdu)|=x*arccosx+int({xdx}/sqrt(1-x^2)=
=x*arccosx-int(dsqrt(1-x^2))=x*arccosx-sqrt(1-x^2)+C

Здравствуйте, Татьянка!

1. как найти данный предел (вид 0/0):
lim((4^3x-2^6x)/(arcsin2x-x)) при х стремящемся к 0

Если я правильно понял запись, то в числителе стоит 4^(3x)-2^(6x) = 0, т.е. выражение равно 0 при всех x != arcsin(2x).
Тогда и предел будет равен 0.

2. И интеграл arccosxdx

Интегрирование по частям Integral(arccos(x)dx) = x*arccos(x) + Integral(x/sqrt(1 - x^2)dx)
Второй интеграл - заменой переменной t = 1 - x^2, dt = -2*x*dx
Integral(x/sqrt(1 - x^2)dx) = -2*Integral(1/sqrt(t)dt) = -sqrt(t) = -sqrt(1 - x^2).
Итого,
Integral(arccos(x)dx) = x*arccos(x) - sqrt(1 - x^2)

Здравствуйте, Татьянка!
2) Сделаем замену переменной t = arccosx
=> cost = x
=> dx = -sintdt
Integral(arccosxdx) = Integral(-t*sintdt) = Integral(td(cost))
интегрируем по частям => ... = t*cost - Integral(costdt) = t*cost - sint +C
Подставляем вместо t arccosx =>
Integral(arccosxdx) = x*arccosx - sin(arccosx) + C