Родились сегодня:
ivan_papus


Лидеры

ID: 259041

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

1167

Россия, пос. Теплоозёрск, ЕАО


ID: 405587

Magic2hand

5-й класс

696


ID: 226425

Konstantin Shvetski

Модератор

318

Россия, Северодвинск


ID: 137394

Megaloman

Мастер-Эксперт

181

Беларусь, Гомель


ID: 405604

Ника

Посетитель

141


ID: 400669

epimkin

Профессионал

119


ID: 405537

hipunova1512

Посетитель

88


8.10.4

05.12.2021

JS: 2.10.3
CSS: 4.6.0
jQuery: 3.6.0
DataForLocalStorage: 2021-12-08 21:46:03-standard


Консультации и решение задач по физике.

Администратор раздела: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)

Консультация онлайн # 108713

Раздел:  Физика
Автор вопроса: Slade
Дата: 09.11.2007, 17:01 Консультация закрыта
Поступило ответов: 1

Здраствуйте. Помогите решить интересную задачу.
Однородный шар радиуса r скатывается без скольжения с вершины сферы радиуса R. Найти угловую скорость шара после отрыва от сферы. Начальная скорость шара пренебрежимо мала.

Ответ # 193019 от Воробьёв Алексей Викторович
Здравствуйте, Slade!

Здраствуйте. Помогите решить интересную задачу.
Однородный шар радиуса r скатывается без скольжения с вершины сферы радиуса R. Найти угловую скорость шара после отрыва от сферы. Начальная скорость шара пренебрежимо мала.

Шар с моментом инерции J = 2/5*m*R^2 при качении вниз по сфере приобретает кинетическую энергию поступательного движения m*v^2/2 и кинетическую энергию вращательного J*w^2/2 = (2/5)*m*R^2*(v/R)^2/2 = 1/5*m*v^2.
Полная кинетическая энергия будет m*v^2*(1/2+1/5) = 7/10*m*v^2.
Эта энергия равна изменению потенциальной m*g*h = m*g*(R + r)*(1 - cos(ф)), где ф - угол отклонения от вертикальной оси сферы.
R + r - потому что центр тяжести шара двигается по радиусу R + r.
Таким образом,
7/10*m*v^2 = m*g*(R + r)*(1 - cos(ф))
cos(ф) = 1 - (7/10)v^2/(g*(R + r))
Сила реакции опоры равна 0 в точке отрыва.
При этом сила тяжести имеет тангенциальную компоненту вдоль вектора скорости m*g*sin(Ф) и нормальную m*g*cos(ф).
До точки отрыва нормальная компонента была настолько велика, что радиус кривизны был меньше радиуса сферы и для компенсации избыточной силы действовала сила реакции опоры, так что совместная сила была равна m*v^2/(R + r).
В точке отрыва нормальная компонента силы тяжести обеспечивает центростремительное ускорение в точности равное v^2/(R + r). Т.е.
m*v^2/R = m*g*cos(ф)
cos(ф) = v^2/(g*(R + r))
Сравнивая с предыдущим выражением для cos(ф) получим
1 - (7/10)v^2/(g*(R + r)) = v^2/(g*(R + r))
v^2 = (10/17)g(R + r)
w = v/r = sqrt((10/17)g(R + r))/r
Есть одна заковыка: расчёт шёл из соображений, что радиус шара достаточно мал, чтобы не удариться об пол до момента отрыва.
Это однако, скорее всего верно не всегда. Это будет неверно, если высота, на которую опустится шар к моменту отрыва больше 2*R, т.е.
(R + r)(1 - cos(ф)) > 2R или cos(ф) < 1 - 2*R/(R + r) = (r - R)/(r + R)
Мы нашли ранее, что cos(ф) = v^2/(g*(R + r)) = 10/17 в точке отрыва.
Т.е. условие касания шаром поверхности стола (r - R)/(r + R) > 10/17
17r - 17R > 10r + 10R, 7r > 27R, r > (27/7)R.
Т.о. наше решение верно пока радиус шара меньше (27/7) радиуса сферы.
В остальных случаях мы може рассчитать угловую скорость исходя из уравнения сохранения энергии, где изменение потенциальной энергии равно m*g*2*R:
7/10*m*v^2 = 2*m*g*R
v^2 = (20/7)gR
w = v/r = sqrt((20/7)gR)/r

Проверьте вычисления.
А задача действительно интересная.

Воробьёв Алексей Викторович

Посетитель
10.11.2007, 06:55
Мини-форум консультации # 108713
Нет сообщений в мини-форуме
Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Лучшие эксперты раздела

Алексеев Владимир Николаевич

Мастер-Эксперт

Рейтинг: 1167

Magic2hand

5-й класс

Рейтинг: 696

Konstantin Shvetski

Модератор

Рейтинг: 318

Коцюрбенко Алексей Владимирович

Старший модератор

Рейтинг: 201

epimkin

Профессионал

Рейтинг: 119

sglisitsyn

6-й класс

Рейтинг: 50