Первое, что приходит на ум - соединить 3 заданные точки MNK в треугольник и вычислить площадь полученного треугольного сечения по формуле Герона. Чертёж прилагаю ниже.

Треугольник BAM - прямоугольный с катетами AB = AM = 1 . Значит, BM = [$8730$](AB² + AM²) = [$8730$](1² + 1²) = [$8730$]2
Треугольник NBM - прямоугольный с катетами NB = 2 , BM = [$8730$]2 . Значит, NM = [$8730$](NB² + BM²) = [$8730$](2² + 2) = [$8730$]6

Треугольник CEM - прямоугольный с катетами CE = 2 , EM = 1 . Значит, MC = [$8730$](2² + 1²) = [$8730$]5 .
Треугольник KCM - прямоугольный с катетами KC = 1 , MC = [$8730$]5 . Значит, KM = [$8730$](1² + 5) = [$8730$]6 .

Треугольник NFD - прямоугольный с катетами NF = 1 , FD = 2 . Значит, ND = [$8730$](1² + 2²) = [$8730$]5 .
Треугольник NDK - прямоугольный с катетами ND = [$8730$]5 , DK = 1 . Значит, NK = [$8730$](5 + 1) = [$8730$]6 .

Оказывается, наш треугольник ещё и равносторонний с длиной стороны a=[$8730$]6 .
Площадь такого треугольника вычисляется по формуле S = a²·[$8730$]3 / 4 = 6·[$8730$]3 / 4 = 1,5·[$8730$]3 = 2,60 (проще, чем у Герона).

Однако, меня терзают сомнения, будто сечение куба чуть больше, чем размеры треугольника MNK . А под рукой нет кубического предмета чтоб разрезать и проверить.

Первое, что приходит на ум - соединить 3 заданные точки MNK в треугольник и вычислить площадь полученного треугольного сечения по формуле Герона

Владимир Николаевич, Вы похоже не поняли задание или я плохо его изложил....

Построить сечение куба , проходящее через данные точки

Это сечение будет пересекать плоскость куба: Вы построили сечение неправильно: должен получиться шестиугольное сечение...

чем размеры треугольника MNK

в задании нет вычисления площади треугольника : сначала надо построить это сечение через точки указанные, а уж потом вычислить площадь того сечения куба, которое получится

сечение куба чуть больше

тут Ваше интуиция не подвела Вас... на сколько больше?

Я понял задание, и Вы хорошо изложили его. Просто у меня не хватает фантазии разрезать куб мысленно по точкам в 3х измерениях. Если Вы сообщите о наличии какой-либо практической пользы от решения этой задачи, то я завтра поищу какой-нибудь куб, чтоб распилить его и получить 6-угольное сечение (или может 8-угольное?).

. Если Вы сообщите о наличии какой-либо практической пользы от решения этой задачи

/Мне экзамены сдавать не надо, а значит практической пользы нет.... хотя вопрос Ваш меня привёл в шок... Вы не математик профессиональный, тогда не утруждайте себя в решении этой задачи, может найдётся тот, кому по силе( по плечу) решить это задание и не искать , а тем более не распиливать этот куб! Мне было приятно прочитать Ваш ответ .

Просто у меня не хватает фантазии разрезать куб мысленно по точкам в 3х измерениях.

здесь надо не фантазировать , а просто построить сечение...

Вы писали : "вопрос Ваш меня привёл в шок" - потому что Вы даже не попытались поработать экспертом. А меня шокирует сопоставление : Почему бОльшая часть экспертов пассивны, а я лезу в каждую дырку пытаться помочь, теряя уйму времени при этом? На решение задачи rfpro.ru/question/198006 про 2х-слойный сферический конденсатор я убил 2 дня жизни, потому что такие непрактичные конденсаторы мне никогда не встречались, а с найденным в интернете полезным учебным материалом невозможно работать онлайн.

Столичные админы так загаживают страницы, что их рекламные баннеры перекрывают контент. Кликать нельзя, чтоб не запускать их скрипты и свой тяжёлый антивирус. Приходится сохраниять страницы, чистить их от гадости и проч мусор-балласта. А Автор того Вопроса даже не поблагодарил меня за долгую работу.

Многие авторы вопросов задают массу вопросов, ждут полдня и уходят навсегда. Эксперты не могут решить всё быстро, отправляют Ответы на 2й…4й день - но эти Ответы уже никому не нужны. Вот и приходится спрашивать авторов вопросов о полезности долгого труда над их задачей.

"здесь надо не фантазировать, а просто построить сечение" - а что же Вы тогда сами "просто" не построили? Иногда проще построить физический макет (разрез сложной детали, машины, … здания), чем начертить на бумаге и при этом учёсть все особенности и показать их наглядно.

"не утруждайте себя в решении этой задачи" - спасибо, так и сделаю.
"может найдётся тот, кому по силе… решить это задание" - если в первые сутки не нашлось, то уже вряд ли найдётся.

"а тем более не распиливать этот куб" - пенопластовый или деревянный куб Вы распилите за полчаса и будете застрахованы от ошибок. А решать на бумаге будете дольше и без уверенности в отсутствии ошибок. Удачи!

а что же Вы тогда сами "просто" не построили?

Просто у меня не получилось, поэтому написал сюда... и это только пол задания , а вторая часть вычисления площади сечения намного сложнее первой.

если в первые сутки не нашлось, то уже вряд ли найдётся.

похоже Вы правы... вспоминаю Гордиенко Андрея Владимировича, который бы взялся за решение моей задачи, хотя он и не математик, как и Вы, но всегда брался за решение не простых задач. Вы тоже взялись помочь мне и за это Вам большое человеческое спасибо!

Вы очень уместно вспомнили про Гордиенко ! Андрей Владимирович - конечно же гениальный человек, он имел большой опыт поиска решений в интернете, который в его цивилизованном г.Минске появился на 10 лет раньше, чем на востоке РФ. Этот опыт решений состоит в грамотной формулировке запроса на поисковом сайте. Если задать поиск по начальной фразе Вашей задачи "На ребрах куба даны три точки", то можно искать долго и нудно.

По Вашей подсказке про Гордиенко я на странице www.google.ru задал искать "сечения куба", - и мне мигом открылись множества готовых решений Вашей задачи :
"В кубе abcd… с ребром, равным 8, точки p,m,t-середины ребер… Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через эти точки" znanija.com/task/9523598
Построение сечения куба с помощью вспомогательной плоскости Ссылка2
Построение сечения куба Ссылка3 (видео)…

Удивляет непосильная нагрузка подобными задачами на школьников в стране, где олигархами полностью развалена экономика, и инженеры больше не нужны.

задал искать "сечения куба", - и мне мигом открылись множества готовых решений Вашей задачи

По первой ссылке , задача решена полностью!
Спасибо.

см "Правильный шестиугольик" Ссылка1

Там : Площадь правильного 6-угольника
S = p·r = a²·3·[$8730$]3 / 2 , где p - полупериметр 6-угольника.
Дальше сами сможете?

Дальше сами сможете?

да, спасибо, потихоньку вспоминаю математику
PS : с женой на даче- в самоизоляции с 17марта...
сегодня выпало много снега, вьюга,метель. Дрова кончаются, печка плохо прогревается, да и крыша не утеплена, в мансарде ветер гуляет... дом из селикатного кирпича, чернового пола нет.... вообщем первый раз попали в такую ситуацию.
Дом этот строили прежние хозяевы в СНТ, которые планировали только шашлыки-машлыки готовить, но никак зимой жить в нём.
До магазина 1.5км... вот таки дела у нас

и мне мигом открылись множества готовых решений Вашей задачи

каюсь
не гуглил, а надо было это сделать , но была ещё и площадь этого сечения , поэтому и не стал гуглить ... а построение сечений действительно масса в интернете.

Ваше справедливое замечание "Вы построили сечение неправильно: должен получиться шестиугольное сечение…" побудило меня собраться с силами, найти замечательную статью "Уравнение плоскости. Задачи" Ссылка и изучить полезный материал. Теперь я знаю, как составить Матрицу, связывающую искомую плоскость с 3мя её точками. А Определитель этой матрицы возвращает готовое Уравнение плоскости в каноническом виде
[$945$](x, y, z) = A·x + B·y + C·z + D = 0
Подставляя вместо x, y, z координаты рёбер, получаем точки пересечения рёбер с секущей плоскостью. Когда не хватает ума представить сечение в воображении, грамотность помогает избавиться от ошибки в догадках.

Вы правы, в сечении получается 6-угольник, и притом Правильный 6-угольник, площадь кот-го легко вычислить по школьной формуле. МаткадРешение прилагаю.

Когда не хватает ума представить сечение в воображении, грамотность помогает избавиться от ошибки в догадках.

Поражаюсь Вашей работоспособности и упорством в достижении решения задач!
Прошло ровно полтора года от заданного мною вопроса , как Вы вернулись к ней: научились строить математически сечения , используя Ваш любимый Маткад.

получается 6-угольник, и притом Правильный 6-угольник, площадь кот-го легко вычислить по школьной формуле

в отличии от построения сечения, а если бы 6-ти угольник был бы неправильный, то вычислить площадь было намного труднее... хотя для Маткада нет ничего невозможного : надо правильно задать ему все формулы для расчёта.

Ваше "а если бы 6-ти угольник был бы неправильный" шокировало меня догадкой, что 6-ти угольник с равными сторонами - это лишь необходимое, но НЕ достаточное условие его правильности! Ведь 6-ти угольник с равными сторонами может быть вытянутым, и тогда моё упрощённое применение школьной формулы для вычисления его площади - ошибочно!! Да и проверку я сделал тоже упрощённую!

Ваше "то вычислить площадь было намного труднее" побудило меня порыскать ещё мат-грамотёшку, и великий Гугл навёл на: "Как найти площадь неправильного 6-угольника ?" на Ссылка : "Формулы для вычисления площади неправильного 6-угольника - многоугольника, стороны кот-го не равны м-ду собой.
Метод трапеции: Делим 6-угольник на произвольные трапеции, вычисляем площадь каждой из них и складываем.
Основные формулы площади трапеции: S = 1/2·(a + b)·h, где a и b - основания трапеции, h - высота.
S = h·m, где h - высота, m - средняя линия."
Ещё можно разрезать неправильный 6-угольник на 4 треугольника, площади которых вычислить по их сторонам или углам.

Вы правы : "для Маткада нет ничего невозможного", я разрезал 6-угольник на 6 элементарных треугольничков и задал Маткаду вычислить длины всех их сторон. Все длины оказались одинаковы, значит, треугольнички - правильные, и их родитель 6-угольник - тоже. Маткад вычисляет длины, площади и углы мгновенно и лаконично! Теперь я заменил упрощённую проверку на точную и делюсь с Вами приёмами вычислений, вдруг они Вам тоже пригодятся?
Спасибо Вам за полезные рецензии и интереснейшую задачу, задавайте ещё!