Здравствуйте, Руденский Игорь Евгеньевич!
вашему пользователю СУБД root разрешен вход только с localhost по умолчанию.
Создайте пользователя который будет иметь те же права но входить с любых хостов либо с определенных.

Здравствуйте, Руденский Игорь Евгеньевич!
Создаем пользователя для mysql:
1) создайте файлик add_user.sql с таким содержанием:

CREATE USER test_user IDENTIFIED BY ‘password‘;
CREATE DATABASE test_db;

GRANT SELECT,INSERT,UPDATE,DELETE,CREATE,DROP,INDEX
ON test_db.*
TO test_user@‘%‘
IDENTIFIED BY ‘password‘;

GRANT SELECT,INSERT,UPDATE,DELETE,CREATE,DROP,INDEX
ON test_db.*
TO test_user@‘localhost‘
IDENTIFIED BY ‘password‘;
2) на сервере с БД запускаем его:
# mysql<add_user.sql
В этом примере имя пользователя - test_user, пароль - password, БД - test_db, Вы можете поменять их как Вам нужно (пароль - обязательно поменяйте).
После этого можно подключаться к БД, указывая в параметрах подключения имя хоста (или его IP адрес), имя и пароль пользователя, название БД.

Что касается hosts.allow, то, во-первых, туда имеет смысл прописывать разрешения в том случае, если у Вас в hosts.deny прописаны запрещения. А во-вторых, у Вас неправильный формат записи. Правильно так:
service_name: ip_addresses
service_name - имя сервиса
ip_addresses - имена или адреса, которым разрешен/запрещен доступ.

Если и так подключиться не удастся, то проверьте, запущен ли mysql на сервере (ps -aux|grep mysql), ждет ли он Ваших подключений (lsof -i|grep mysql). Еще могут быть файерволы с обеих сторон...

Удачи!