Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 71932
21.01.2007, 14:29
0.00 руб.
0 2 2
Образование
Рассажите пожалуйста как рационально решается след уравнение:
Найти корни уравнения:
x^2+x+1=13x*(x+1)^0.5/6

Ответ:2 и (2+2*10^0.5)/9

Я решал обыкновенно, домножал на 6, потом всё возводил в квадрат, у меня получось уравнение 4-ой степени, после долгих мучений нашел корни.
Возможно ли его решить рационально(быстрей)
Спасибо.

Обсуждение

Неизвестный
21.01.2007, 15:40
общий
это ответ
Здравствуйте, Иванов Константин Владиславович/Aspirine!

Почему 4ой? У меня упорно второй...И корни другие :(
ОДЗ: x >= -1
ОВР: x >= 0
36((x^2)^2 + 2(x^2)(x+1) + (x+1)^2) = 169(x^2)(x+1);
36(x^2)^2 - 97(x^2)(x+1) + 36(x+1)^2 = 0;
36(x^2)^2 - 81(x^2)(x+1) - 16(x^2)(x+1) + 36(x+1)^2 = 0;
(4x^2 - 9(x+1)) * (9x^2 - 4(x+1)) = 0;
Либо 4x^2 - 9x - 9 = 0, 4x^2 - 12x + 3x - 9 = 0, (x+3)(4x-9)=0, с учётом ОДЗ x=9/4
Либо 9x^2 - 4x - 4 = 0, с учётом ОВР x = (2 + sqrt(40))/9 = 2/9(1+sqrt(10)) - этот совпал!

Вывод: не надо раньше времени раскрывать скобки. Иногда такой приём маскируют под замену переменных - ]u=x^2, ]v=x+1, однородное уравнение отн u и v, ...

Удачи!
Неизвестный
21.01.2007, 16:24
общий
это ответ
Здравствуйте, Иванов Константин Владиславович/Aspirine!
Решаем через замену переменных... правильно.
Делим все уравнение на (x+1), убедившись, что x=-1 — не корень.
И делаем замену t = x/√[x+1]
Получается квадратное ур-ние относительно t:
6t<sup>2</sup>-13t+6=0
t<sub>1;2</sub>=(13±√[169-144])/12=[13±5]/12

[ x/√[x+1] = 3/2
[ x/√[x+1] = 2/3
Возводим в квадрат:
[ 4x<sup>2</sup>-9x-9=0
[ 9x<sup>2</sup>-4x-4=0

[ x<sub>1;2</sub>=(9±√[9∙9+16∙9])/8
[ x<sub>1;2</sub>=(2±√[3+36])/9
Отрицательные корни не подходят, т.к. до этого мы возводили в квадрат x/√[x+1], а оно положительно только если x положительно.
[ x<sub>1</sub>=3
[ x<sub>2</sub>=[2/9]∙(1+√10)
Простой подстановкой убеждаемся, что корень x=3 подходит.
Форма ответа