Здравствуйте, Duglas!

То что вы описали называется Issue tracking system (http://en.wikipedia.org/wiki/Issue_tracking_system), часто ее называют еще Bug tracking system, или просто Баг-трек(но это уже больше для программистов).
Я бы прекомендовал сначало просмотреть подобные существующие системы, прежде чем писать свою. Вот тут вот есть сводная таблица по подобным системам http://en.wikipedia.org/wiki/Comparison_of_issue_tracking_systems

Если лицензия GPL или BSD, то эта система в отрытом доступе без ограничений.

Здравствуйте, Duglas!
Начать, пожалуй, нужно с базы данных. Для этой задачи можно использовать продукты с открытим исходным кодом (так называемый Open Source) - MySQL или PostgreSQL. Документацию можно найти там же.
http://www.postgresql.org/
http://www.mysql.com/
Для разработки в среде C++ Builder можно использовать InterBase или его клоны.

Здравствуйте, Duglas!
раз уж хочется написать самому, то я бы порекомендовал w‘eb решение. во-первых, клиентам ничего не придется устанавливать, а во-вторых - все данные автоматически окажутся на одном компьютере (сервере), что избавит тебя от задачи их передачи туда.
w‘eb приложения можно вполне писать и на С++ (я так делаю переодически), а если тебе лень разбираться с базами данных (и заявок не будет очень уж много и часто), то можно использовать банальные файлы. а организацию одновременного доступа можно сделать с помощью средств синхронизации windows (симофоры, мутексы и т.п.), а можно организовать твою программу таким образом, чтобы она состояла из двух процессов - служебного, который будет принимать команды на выполнения каких-либо действий и клиентского, который будет запускаться w‘eb сервером. т.о. служебный процесс сможет обеспечить синхронизацию данных между клиентскими.