Здравствуйте, Hoochy!
Как можно предположить, имеется в виду матрица линейного преобразования. Составляем ее характеристическое уравнение:
2-k -1 -1
2 -1-k -2 =0, или
-1 1 2
-k^3+3*k^2-3*k+1=0, или –(k-1)^3=0.
Полученное уравнение имеет одно действительное решение k=1, поэтому и заданная матрица имеет только одно собственное значение k=1.
Для отыскания соответствующего собственного вектора используем систему уравнений
(4-k)*x1-x2-x3=0,
2*x1+(-1-k)*x2-2*x3=0,
-x1+x2+(2-k)*x3=0,
которая при k=1 принимает вид:
3*x1-x2-x3=0,
2*x1-2*x2-2*x3=0,
-x1+x2+x3=0.
Решая последнюю систему, находим x1=0, x2=-x3. Поскольку собственный вектор определяется с точностью до произвольного множителя, то задаваясь, например, x2=1, получаем x3=-1. Следовательно, собственный вектор матрицы x={0; 1; -1}.
Ответ: k=1; x={0; 1; -1}.
С уважением,
Mr. Andy.