Здравствуйте, Art120684!
Дифференциалы:
dz = (Dz/Dx)dx + (Dz/Dy)dy D - частная производная
Частные произодные:
1. Dz/Dx = 1/(x+5y^2);
Dz/Dy = 10y/(x+5y^2);
2. Dz/Dx = 2x/y - 2y/x^3;
Dz/Dy = -(x/y)^2 + 1/x^2;
3. Dz/Dx = 2xy/(x^2 - y^2);
Dz/Dy = ln(x^2 - y^2) - 2y^2/(x^2 - y^2)
Экстремумы к сожалению забыл)

Здравствуйте, Art120684!
Решение второго задания.
1) Находим частные производные первого порядка: ∂z/∂x=2*x+y-2, ∂z/∂y=x+2*y-1.
Находим координаты стационарной точки: 2*x+y-2=0, x+2*y-1=0, откуда x=1, y=0.
Находим вторые производные и их значения в стационарной точке: A=∂^2(z)/∂x^2=2, B=∂^2(z)/(∂x*∂y)=1, C=∂^2(z)/∂y^2=2.
Составляем дискриминант: ∆=A*C-B^2=2*2-1=3.
Поскольку ∆>0 и A>0, то в стационарной точке функция z(x, y) имеет минимум zmin=z(1; 0)=-1.
Ответ: минимум zmin=-1 в точке (1; 0).
2) Действуя аналогично указанному выше, находим:
∂z/∂x=3*x^2+3*y^2-15, ∂z/∂y=6*x*y-12;
3*x^2+3*y^2-15=0, 6*x*y-12=0, откуда получаем координаты четырех стационарных точек:
М1(-2; -1), М2(-1; -2), М3(1; 2), М4(2; 1);
A=∂^2(z)/∂x^2=6*х,
B=∂^2(z)/(∂x*∂y)=6*y,
C=∂^2(z)/∂y^2=6*x;
в точке М1 A=-12<0, B=-6, C=-12, ∆=108>0, поэтому М1 – точка максимума, zmax=z(-2; -1)=28;
в точке М2 A=-6, B=-12, C=-6, ∆=-108<0, поэтому в точке М2 экстремума нет;
в точке М3 A=6, B=12, C=6, ∆=-108<0, поэтому в точке М3 экстремума нет;
в точке М4 A=12>0, B=6, C=12, ∆=108>0, поэтому М4 – точка минимума, zmin=z(2; 1)=-28.
Ответ: минимум zmin=-28 в точке (2; 1), максимум zmax=28 в точке (-2; -1).
С уважением,
Mr. Andy.