Здравствуйте, 6vetka!
Согласно правилу Лопиталя, для раскрытия неопределенностей вида 0/0 или ∞/∞ отношение функций заменяют отношением их первых производных, отношение первых производных – отношением вторых производных и т. д.
В случае неопределенностей вида 0*∞ или ∞-∞ данную функцию преобразовывают так, чтобы привести ее к неопределенности вида 0/0 или ∞/∞ и далее воспользоваться правилом Лопиталя.
В случае неопределенности вида 0^0, ∞^0, 1^∞ данную функцию логарифмируют и находят предел ее логарифма, а затем полученное выражение потенцируют и находят искомый предел.
Вот как это выглядит, например, в первых трех Ваших заданиях.
А) lim (x→0) (a^ln x-x)/(x-1)= lim (x→0) (a^ln x)/(x-1)-lim (x→0) x/(x-1)= lim (x→0) (a^ln x)/(x-1)= (lim (x→0) (a^ln x))/(lim (x→0) (x-1)=-lim (x→0) a^ln x – неопределенность вида a^∞.
Пусть y= a^ln x. Логарифмируем полученную функцию и находим предел ее логарифма, применяя правило Лопиталя:
-lim (x→0) ln y=-lim (x→0) (lna*ln x)=(-ln a)*lim (x→0) ln x=(-ln a)*lim (x→0) (ln x)’=(-ln a)*lim (x→0) (1/x)= (-ln a)*∞=
=-∞ при a>1 и
=+∞ при 0<a<1,
следовательно,
искомый предел lim (x→0) y=
=e^(-∞)=0 при a>1 и
=e^(+∞)=∞ при 0<a<1.
Б) Положим y=(ln 1/x)^x, тогда ln y=x*ln 1/x,
lim (x→0) (ln y)=lim (x→0) (x*ln 1/x)=lim (x→0) (x*ln 1/x)’= lim (x→0) (ln (1/x)-1)=∞,
следовательно,
искомый предел lim (x→0) y=e^∞=∞.
В) lim (x→∞) (x^4*sin (a/x))=lim (x→∞) (sin (a/x)/(1/(x^4))= lim (x→∞) (sin (a/x)’/(1/(x^4))’=(a/4)*lim (x→∞) (x^3*cos (a/x))=(a/4)*lim (x→∞) (x^3)=∞ - искомый предел. Промежуточные выкладки я опустил.
Попробуйте решить оставшиеся два задания самостоятельно.
С уважением,
Mr. Andy.
P. S. Не исключено, что я где-то ошибся, но суть метода именно такова.