Здравствуйте, Рощин Евгений !
Решение.
1) Заданная функция определена, если выполняются условия:
а) –х2+12∙ln (|x-3|-5)≥0 (подкоренное выражение неотрицательно);
б) |x-3|-5>0 (степень положительна).
Решая неравенство б), находим xЄ(]-∞; -2[U]8; +∞[.
Неравенство а) можно записать так: 12∙ln (|x-3|-5)≥ х2 и, например, построив графики функций y=ln (|x-3|-5) и y=х2, исследовать их поведение. Нетрудно убедиться, что не существует значений x, одновременно удовлетворяющих обоим неравенствам. Поэтому заданная функция не определена на множестве действительных чисел.
2) lim (x→∞)(1-5∙x)/(x2+1)= lim (x→∞)[(1-5∙x)/x2]/[(x2+1)/x2]= lim (x→∞)[(1/x2-5/x]/[1+1/ x2]=(0-0)/(1+0)=0/1=0.
3) При заданных условиях данная система эквивалентна системе
x+3∙y≤12,
x-y≤5,
x≥0,
y≥0.
Заменяем неравенства строгими равенствами и строим область решений, ограниченную прямыми y=0 (ось абсцисс), x=0 (ось ординат), x+3∙y=12, x-y=5. Строим также вектор C=(2; 1). Перпендикулярная этому вектору опорная прямая выйдет из полученного четырехугольника решений в точке (6,75; 1,75) пересечения прямых x+3∙y=12 и x-y=5.
В этой точке заданная функция z=2∙x+y принимает наибольшее значение, равное zmax=2∙6,75+1,75=15,25.
4) Имеем: y=(x-5)/(x+3)=1-8/(x+3).
Находим координаты точки пересечения графика заданной функции с осью Ox. При y=0 получаем 0=1-8/(x+3), откуда x=5. Следовательно, координаты искомой точки – (5; 0).
Находим производную заданной функции: y’=8/(x+3)2. Ее значение в точке (5; 0) y’(5)=8/(5+3)2=1/8.
Поскольку угловой коэффициент касательной к графику функции в некоторой точке равен значению производной функции в этой точке, и касательная проходит через точку (5; 0), то ее уравнение имеет вид
(y-0)=(1/8)∙(x-5), или y=x/8-5/8, или x-8∙y-5=0.
С уважением,
Mr. Andy.