Здравствуйте, Янусик!
Ответ: 1. (10 2/3; 11 2/3). 2. 6∙x+5∙y-19=0 и 6∙x-13∙y+17=0. 3. x+y+z+5=0.
Решение.
1. Точка P’, симметричная точке P относительно заданной прямой, лежит на перпендикуляре к этой прямой. Перепишем уравнение заданной прямой в виде y=(-5/4)∙x+(22/4), откуда видно, что угловой коэффициент этой прямой k1=-5/4. Следовательно, угловой коэффициент перпендикулярной прямой k2=-1/k1=-1/(-5/4)=4/5. Поскольку эта прямая должна проходить через точку P, то ее уравнение можно записать в виде y+8=(4/5)∙(x+5), или 4∙х-5∙y-20=0.
Найдем точку Q пересечения заданной прямой и перпендикуляра к ней. Для этого решим систему уравнений
5∙x+4∙y-22=0,
4∙х-5∙y-20=0
и получим Q (4/3; 10/3).
Полученная точка Q является серединой отрезка PP’, т. е. делит его в отношении 1. Используя формулу деления отрезка в данном отношении, находим координаты искомой точки P’:
4/3=(-8+x)/2, 10/3=(-5+y)/2, откуда P’ (10 2/3; 11 2/3).
2. Искомых прямых – две. Одна из них проходит через точку P параллельно прямой AB. Найдём уравнение прямой AB:
(y-5)/(-1-5)=(x+1)/(4+1), откуда 5∙y+6∙x-19=0, или y=(-6/5)∙x+(19/5). Поскольку искомая прямая параллельна прямой AB, то ее угловой коэффициент k=-6/5, а уравнение: y+1=(-6/5)∙(x+5), или 6∙x+5∙y-19=0.
Для нахождения второй прямой воспользуемся тем обстоятельством, что точки, находящиеся на равных расстоя-ниях от точек А и В, лежат на серединном перпендикуляре к отрезку АВ. Найдем координаты точки С - середины от-резка АВ:
x=(-1+4)/2=3/2, y=(5-1)/2=2. Итак, С (3/2; 2).
Можно показать, что искомая прямая необходимым образом проходит через точку С (предоставляю сделать это Вам самостоятельно). Следовательно, ее уравнение: (y+1)/(2+1)=(x+5)/(3/2+5), или 6∙x-13∙y+17=0.
3. Используя уравнение плоскости в отрезках, получаем x/a+y/a+z/a=1. Поскольку искомая плоскость проходит через заданную точку А, то ее координаты удовлетворяют указанному уравнению, т. е. -4/a+2/a-3/a=1, то a=-5. Получаем уравнение x+y+z+5=0.
С уважением,
Mr. Andy.