Здравствуйте, Слабухин Сергей Федорович!

Поскольку прогулом считается отсутствие работника на рабочем месте без уважительных причин более 4-х часов подряд в течение рабочего дня (ст. 88, п.6, п.п.а ТК РФ), в вашем случае логично будет днём увольнения считать именно тот день, когда работник впервые не появился на рабочем месте. Т.е день, когда зафиксирован прогул.
Но имейте ввиду, что если Ваш работник всё-таки появится и предъявит листок нетрудоспособности за всё время отсутствия, он сможет обратиться в суд с иском о восстановлении его на рабочем месте.
Могу посоветовать для начала направить ему домой письменное уведомление о том, что, если он не сообщит о причинах своего отсутствия, то с ним будет расторгнут трудовой договор по причине прогула. Уведомление направьте заказным письмом, чтобы у вас было подтвержение о его вручении либо отметка почты об отсутствии адресата.

С уважением, Ольга.

Здравствуйте, Слабухин Сергей Федорович! Не совсем согласна с мнением предыдущего эксперта. Уволить сотрудника вы не имеете право. Т. к. одним из условий наложения дисциплинарного взыскания (а увольнение за прогул и есть дисциплинарное взыскание) является наличие письменного объяснения отсутствия сотрудника (п. 1, ст. 193 ТК РФ) Максимум, что вы можете сделать- это подать заявление в милицию, что пропал сотрудник, ни дома, ни на работе не появляется. Только после этого вы можете прекратить поиски сотрудника. Уволить его можно, только после того как он объявиться. Подготовится к его появлению можно так как посоветовала Olga G.:
послать письма, с просьбой прийти на работу и объяснить свое отсутствие, составить акт о прогуле и написать докладную записку. Вот в этом случае, при появлении сотрудника вы можете уволить его за прогул, если не будет уважительной причины его отсутствия.