Большое Спасибо, Алексей Владимирович, за показ универсального метода Решения! Трудно запомнить его.
Вы уже показывали всем нам решения однородных уравнений с заменой переменной в консультациях
rfpro.ru/question/198514 ,
rfpro.ru/question/197374 ,
rfpro.ru/question/198819 … Но как сделать
удачную замену в текущей задаче? - я вчера вечером не мог сообразить, уставший был.
Вольфрам показал solution : y(x) = C
1 / x
2 + 1/x - легко догадаться, что перед взятием интеграла была замена на какое-то значение в квадрате. Иначе константа добавлялась бы как обычное слагаемое "+C" . Я пробовал варианты замен - заклинило…
А сегодня в 6 утра (по Владивостоку) вдруг осенило, потом я включил комп и увидел Ваше Решение.
Теперь я понял идею и рекомендую её всем дифур-чайникам: Если математики не отвечают в течение суток, читаем сомножитель константы в Вольфрам-решении:
Когда константа выражена как C
1/x
2 , значит после взятия интеграла было восстановление y = u/x
2 , и нам надо делать предвари-замену u = y·x
2 . Если увидим, например C
1·[$8730$](x) , то заменять надо u = y / [$8730$](x) , и тд.
Дальше - просто: умножаем обе части исходного дифура y' + 2·y/x = 1/x
2 на x
2 :
y'·x
2 + 2·y·x = 1
Дифференцируем замену : u' = (y·x
2)' = y'·x
2 + y·[(x
2)'] = y'·x
2 + 2·x·y
После замены получаем удивительно простой дифур : u' = 1 (проще не бывает!!)
Интегрируем его u = [$8747$]dx = x + C
1Производим восстановление (обратную замену) y = u / x
2 = (x + C
1) / x
2 = 1/x + C
1/x
2 - Готово!
"Гениально то, что просто" или "Дуракам везёт!"
К сожалению, Вольфрам не всегда выдаёт правильное Решение. Примерно в 20% слуаев из тех труднейших, что решаете Вы или epimkin , американец выдаёт такие громоздко-несъедобные навороты, хоть убегай! Но он всегда на связи и быстро выдаёт идею. Например, если в поле "ODE names:" или в "ODE classification:" он подсказал "Separable equation", значит, мы имеем простейший дифур с разделяемыми переменными, и надо просто "покрутить" сомножители для разделения иксов и игреков в разные части уравнения, а затем проинтегрировать их отдельно.