Здравствуйте, naks1mok!
Условие: Функция f(x,y) = ln(x² + y²) , границы области D : x² + y² = e³ , x² + y² = e⁴ .
Вычислить двойной интеграл I2 = _D[$8747$][$8747$]f(x,y)·dx·dy

Решение : Область интегрирования D задана двумя кривыми x² + y² = e³ , x² + y² = e⁴ . Что означают эти формулы?
Вспоминаем, что x² + y² = R² - это уравнение окружности радиусом R с центром в начале координат.
Значит наша область интегрирования - это кольцо м-ду 2мя концентрическими окружностями с радиусами
R₁ = [$8730$](e³) = 4,48 и R₂ = [$8730$](e⁴) = e² = 7,39 .

"Чтобы вычислить двойной интеграл, надо свести его к так называемым повторным интегралам" (цитата из учебной статьи "Двойные интегралы для чайников! Ссылка1). Автор статьи - Емелин Александр - мой любимый Учитель по Высшей математике. По совету Александра я начертил график Вашей области D интегрирования в бесплатном приложении ru.wikipedia.org/wiki/Mathcad . Маткад работает быстро и избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.

"площадь данной фигуры рассчитывается и с помощью двойного интеграла в прямоугольной системе координат. Но решение получается длительным и громоздим…, и если человек не знает о возможности перехода к полярным координатам…, то будет загружен трудной работой (цитата из "Как вычислить двойной интеграл в полярной системе координат?" Ссылка3 ). Я убедился: При попытке решить Вашу задачу в обычной прямоугольной системе координат, интегралы получаются очень громоздкими и трудно-решаемыми. В них легко запутаться и ошибиться.

Для облегчения вычисления перейдём к полярной системе координат по формулам, учитывая, что все Ваши кривые округлые, имеют общий центр и "заточены" именно под полярную систему. Формулы перехода к полярной системе координат:
x = r·cos([$966$]) , y = r·sin([$966$]) .
x² + y² = e³ ==> r²·cos²([$966$]) + r²·sin²([$966$]) = e³ ==> r² = e³ ==> r = [$8730$](e³) = 4,48
x² + y² = e⁴ ==> r²·cos²([$966$]) + r²·sin²([$966$]) = e⁴ ==> r² = e⁴ ==> r = e² = 7,39
f(x,y) = ln(x² + y²) ==> fp(r,[$966$]) = ln{[r·cos([$966$])]² + [r·sin([$966$])]²} = ln{r²·[cos²([$966$]) + sin²([$966$])} = ln{r²·1} = ln{r²} = 2·ln(r)

Порядок обхода области интегрирования:
4,48 <= r <= 7,39 , 0 <= [$966$] <= 2·?

Искомый двойной интеграл I2 = _D[$8747$][$8747$]f(x,y)·dx·dy = _D[$8747$][$8747$]fp(r,[$966$])·r·dr·d[$966$] = ₀^2·[$960$][$8747$]d[$966$] _4,48^7,39[$8747$]2·ln(r)·r·dr
Решаем его в 2 этапа (переходим к повторным интегралам).
Сначала берём Внутренний интеграл: Ir = _4,48^7,39[$8747$]2·ln(r)·r·dr = 2·_4,48^7,39 [$8747$]ln(r)·r·dr
Однако, интеграл типа [$8747$]ln(r)·r·dr - не есть "табличный". Используем формулу интегрирования по частям
[$8747$]u·dv = u·v - [$8747$]v·du
u = ln(r) , потому что "В интегралах с логарифмом за u всегда обозначается логарифм" (цитата из "Интегрирование по частям. Примеры решений" Ссылка4 )
dv = r·dr - оставшаяся часть подынтегрального выражения.

Находим дифференциал : du : u = ln(r) ==> du = (ln(r))'·dr = dr / r
"Дифференциал - это почти то же, что и производная, как его находить, мы уже разбирали на предыдущих уроках" - цитата из выше-указанной статьи.

Теперь находим функцию v интегрированием: v = [$8747$]dv = [$8747$]r·dr = r² / 2
[$8747$]v·du = [$8747$][(r² / 2)·(dr / r)] = (1/2)·[$8747$]r·dr = (1/2)·r²/2 = r²/4
[$8747$]ln(r)·r·dr = u·v - [$8747$]v·du = ln(r)·(r² / 2) - r²/4 = (1/2)·[r²·ln(r) - r²/2]

Продолжаем ранее-отложенное вычисление Внутреннего интеграла:
Ir = 2·_4,48^7,39 [$8747$]ln(r)·r·dr = (2/2)·[r²·ln(r) - r²/2] | _4,48^7,39 = [r²·ln(r) - r²/2] | _4,48^7,39 = 61,81

Искомый Внешний интеграл совсем простой:
I2 = ₀^2·[$960$][$8747$]Ir·d[$966$] = Ir·₀^2·[$960$][$8747$]d[$966$] = Ir·([$966$]) |₀^2·[$960$] = 61,81·(2·[$960$] - 0) = 61,81·6,28 = 388
Ответ : двойной интеграл равен 388 .

В конце изнурительных рассчётов полезно сделать упрощённую проверку-прикид с точностью хотя бы 10% подстраховаться от неожиданных, досадных ошибок. Для проверки сравним исследуемую фигуру с какой-нибудь похожей классической, объём которой легко вычислить. Замечаем, что заданная нам функция - тороидальное тело вращения. Его горизонтальная проекция на плоскость XOY - это выше-описанное кольцо с голубой заливкой на графике.
Площадь кольца легко вычислить, как разность площадей внешнего и внутреннего кругов:
Sк = [$960$]·R₂² - [$960$]·R₁² = 108 кв.ед.

А средняя толщина (высота) h тора в вертикальном сечении (жёлтая заливка) чуть больше среднего арифметического м-ду значениями f(R₁² , 0) и f(R₂² , 0) изза небольшой выпуклости логарифмоиды f(x,y) .
f(R₁²,0) = ln{[[$8730$](e³)]² + 0²} = ln(e³) = 3
f(R₂²,0) = ln{[[$8730$](e⁴)]² + 0²} = ln(e⁴) = 4
То есть h [$8776$] 3,6 . Объём V такого тора примерно равен произведению площади кольца Sk на его высоту h (представьте объём стопки кольцевидных блинов на подставке).
V = Sk·h = 390 , что всего на 0,5% отличается от точно-вычисленного интеграла. Значит, проверка успешна!

Вы писали в минифоруме "интегралы тяжело даются" - тогда Вы можете решить Вашу задачу по школьному принципу "От простого к сложному". Для начала решите Ваш двойной интеграл с "пустой" функцией f(x,y) = 1. В таком варианте двойной интеграл
_D[$8747$][$8747$]dx·dy численно равен уже известной площади Sk области интегрирования D .
Если что-то осталось не понятным, задавайте вопросы в минифоруме.