02.07.2020, 12:54 [+3 UTC]
в нашей команде: 4 658 чел. | участники онлайн: 2 (рекорд: 21)

:: РЕГИСТРАЦИЯ

задать вопрос

все разделы

правила

новости

участники

доска почёта

форум

блоги

поиск

статистика

наш журнал

наши встречи

наша галерея

отзывы о нас

поддержка

руководство

Версия системы:
7.89 (25.04.2020)
JS-v.1.45 | CSS-v.3.39

Общие новости:
13.04.2020, 00:02

Форум:
27.06.2020, 09:37

Последний вопрос:
02.07.2020, 06:46
Всего: 152710

Последний ответ:
01.07.2020, 15:10
Всего: 260316

Последняя рассылка:
02.07.2020, 10:45

Писем в очереди:
0

Мы в соцсетях:

Наша кнопка:

RFpro.ru - здесь вам помогут!

Отзывы о нас:
10.10.2009, 13:49 »
Искужина Светлана Юлаевна
Спасибо огромное Леониду! [вопрос № 172875, ответ № 255166]
15.03.2013, 21:29 »
Александр Сергеевич
Спасибо!!! [вопрос № 187210, ответ № 272132]
Наши встречи:
ID: 820

РАЗДЕЛ • Математика

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

[администратор рассылки: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)]

Лучшие эксперты в этом разделе

Коцюрбенко Алексей Владимирович
Статус: Старший модератор
Рейтинг: 1145
Konstantin Shvetski
Статус: Академик
Рейтинг: 495
Roman Chaplinsky / Химик CH
Статус: Модератор
Рейтинг: 191

Перейти к консультации №:
 

Консультация онлайн # 198978
Раздел: • Математика
Автор вопроса: Artem (Посетитель)
Отправлена: 28.06.2020, 09:54
Поступило ответов: 1

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
На окружности радиуса 2 дана точка A. На каком расстоянии от A следует провести хорду BC,
параллельную касательной к окружности в точке A, так, чтобы площадь треугольника ABC была
наибольшей?

Состояние: Консультация активна (до закрытия: 21 час. 00 мин.)

Здравствуйте, Artem!
Условие: радиус окружности R = 2 ед.
Вычислить расстояние L от точки A до хорды BC, чтобы площадь треугольника ABC была наибольшей.

Решение: Эта интересная задача демонстрирует полезность применения производных функции для лёгкого поиска оптимальных вариантов. Задача - не трудная для тех, кто не поленится нарисовать простой чертёжик и удачно выберет систему координат.

По моему скромному мнению (я не есть математик-профессионал) в центр координат удобнее всего помещать самую сложную фигуру, в данном случае - окружность. Касательная "К" к окружности в точке A всегда перпендикулярна радиусу OA . Значит, и хорда BC, параллельная касательной согласно Условию, тоже перпендикулярна радиусу OA и отрезку AD . Рисунок, выполненный в бесплатном приложении ru.wikipedia.org/wiki/Mathcad , прилагаю ниже.

Можно ради любопытства провести пробные хорды BC рядом с точкой A - треугольник получается сплюснутый по бокам и с малой площадью. Если таким же методом тыка провести хорду на другом конце окружности, диаметрально противоположном от A, то треугольник получается сжатым по вертикали, и опять же с малой площадью.

Проведём хорду BC на каком-то расстоянии p правее центра О окружности. Тогда высоту h треугольника OBD можно вычислить по теореме Пифагора:
h = BD = √(OB2 - OD2) = √(R2 - p2)
Площадь треугольника ABD равна половине произведения его основания AD на высоту h :
SABD = (1/2)·AD·BD = (R + p)·√(R2 - p2) / 2
Площадь искомого треугольника ABC - вдвое больше (AD - ось симметрии):
S(p) = 2·SABD = (R + p)·√(R2 - p2) = (2 + p)·√(4 - p2)

Продифференцируем функцию S(p) по аргументу p , получим её производную:
S'(p) = -2·(p - 1)·(p + 2) / √(4 - p2)
Легко заметить, что эта производная S'(p) равна нулю только при одном значении p = 1 (2й корень p = -2 не имеет физического смысла). Таким образом, значение p=1 - это аргумент экстремума, соответствующий максимальному значению функции S(p):
S(1) = (2 + 1)·√(4 - 12) = 5,2 кв.ед площади.
Искомое расстояние от точки A равно L = R + p = 2+1 =3 ед.
Ответ: чтобы площадь треугольника ABC была наибольшей, надо провести хорду BC на расстоянии 3 ед от точки A.

Для проверки правильности Ответа убедимся, что S(p) принимает максимальное значение при p=1 : Вычислим S(p) при др значениях p : Маткад мигом вычислил: S(1,5) = 4,63 ; S(2) = 0 ; S(-2) = 0 ; S(-1,5) = 0,66 ; S(-1) = 1,73 ; S(-0,5) = 2,91 ; S(0) = 4,0 ; S(0,5) = 4,84 - проверка успешна!
Вы также можете подсчитать количество квадратиков под жёлтой заливкой на рисунке и умножить их число на площадь одного квадратика 0,25 кв.ед. Вы должны получить S(1) = 5,2 кв.ед площади.

Интересно заметить, что полученное значение OD = 1 = OB / 2 . Это значит, Cos(BOD) = 0,5 , угол BOD = 60°, угол OBD = 90-60 = 30°, треугольник ABC - равносторонний! Значит, можно было не используя высшую математику, сразу догадаться, что вписанный треугольник, как и любой другой вписанный многоугольник, имеет макси-площадь, когда он - правильный (все его стороны равны). А у правильного треугольника высота AD равна R·1,5 = 3 !


Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 29.06.2020, 11:14

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Rambler's Top100

главная страница | поддержка | задать вопрос

Время генерирования страницы: 0.13248 сек.

© 2001-2020, Портал RFPRO.RU, Россия
Калашников О.А.  |  Гладенюк А.Г.
Версия системы: 7.89 от 25.04.2020
Версия JS: 1.45 | Версия CSS: 3.39