Здравствуйте, Artem!
Условие: радиус окружности R = 2 ед.
Вычислить расстояние L от точки A до хорды BC, чтобы площадь треугольника ABC была наибольшей.

Решение: Эта интересная задача демонстрирует полезность применения производных функции для лёгкого поиска оптимальных вариантов. Задача - не трудная для тех, кто не поленится нарисовать простой чертёжик и удачно выберет систему координат.

По моему скромному мнению (я не есть математик-профессионал) в центр координат удобнее всего помещать самую сложную фигуру, в данном случае - окружность. Касательная "К" к окружности в точке A всегда перпендикулярна радиусу OA . Значит, и хорда BC, параллельная касательной согласно Условию, тоже перпендикулярна радиусу OA и отрезку AD . Рисунок, выполненный в бесплатном приложении ru.wikipedia.org/wiki/Mathcad , прилагаю ниже.

Можно ради любопытства провести пробные хорды BC рядом с точкой A - треугольник получается сплюснутый по бокам и с малой площадью. Если таким же методом тыка провести хорду на другом конце окружности, диаметрально противоположном от A, то треугольник получается сжатым по вертикали, и опять же с малой площадью.

Проведём хорду BC на каком-то расстоянии p правее центра О окружности. Тогда высоту h треугольника OBD можно вычислить по теореме Пифагора:
h = BD = [$8730$](OB² - OD²) = [$8730$](R² - p²)
Площадь треугольника ABD равна половине произведения его основания AD на высоту h :
S_ABD = (1/2)·AD·BD = (R + p)·[$8730$](R² - p²) / 2
Площадь искомого треугольника ABC - вдвое больше (AD - ось симметрии):
S(p) = 2·S_ABD = (R + p)·[$8730$](R² - p²) = (2 + p)·[$8730$](4 - p²)

Продифференцируем функцию S(p) по аргументу p , получим её производную:
S'(p) = -2·(p - 1)·(p + 2) / [$8730$](4 - p²)
Легко заметить, что эта производная S'(p) равна нулю только при одном значении p = 1 (2й корень p = -2 не имеет физического смысла). Таким образом, значение p=1 - это аргумент экстремума, соответствующий максимальному значению функции S(p):
S(1) = (2 + 1)·[$8730$](4 - 1²) = 5,2 кв.ед площади.
Искомое расстояние от точки A равно L = R + p = 2+1 =3 ед.
Ответ: чтобы площадь треугольника ABC была наибольшей, надо провести хорду BC на расстоянии 3 ед от точки A.

Для проверки правильности Ответа убедимся, что S(p) принимает максимальное значение при p=1 : Вычислим S(p) при др значениях p : Маткад мигом вычислил: S(1,5) = 4,63 ; S(2) = 0 ; S(-2) = 0 ; S(-1,5) = 0,66 ; S(-1) = 1,73 ; S(-0,5) = 2,91 ; S(0) = 4,0 ; S(0,5) = 4,84 - проверка успешна!
Вы также можете подсчитать количество квадратиков под жёлтой заливкой на рисунке и умножить их число на площадь одного квадратика 0,25 кв.ед. Вы должны получить S(1) = 5,2 кв.ед площади.

Интересно заметить, что полученное значение OD = 1 = OB / 2 . Это значит, Cos(BOD) = 0,5 , угол BOD = 60°, угол OBD = 90-60 = 30°, треугольник ABC - равносторонний! Значит, можно было не используя высшую математику, сразу догадаться, что вписанный треугольник, как и любой другой вписанный многоугольник, имеет макси-площадь, когда он - правильный (все его стороны равны). А у правильного треугольника высота AD равна R·1,5 = 3 !