Здравствуйте, sqwerty!
Поток векторного поля
через ориентированную поверхность численно равен поверхностному интегралу 2-го рода по этой поверхности:
который можно свести к поверхностному интегралу 1-го рода по формуле:
где
n[sub]0[/sub] - единичный нормальный вектор к поверхности, заданной функцией двух переменных, равен
(знак "+" берётся для верхней стороны поверхности, знак "-" - для нижней). В свою очередь, поверхностный интеграл 1-го рода для поверхности, заданной функцией двух переменных
z(x,y), сводится к двойному по формуле:
где
D - проекция поверхности
S на координатную плоскость
Oxy (для проекций на
Oxz и
Oyz используются аналогичные формулы). Следовательно,
В данном случае
a = {x, xz, y}. Для поверхности
S[sub]1[/sub]: z = 4-x[sup]2[/sup]-y[sup]2[/sup] имеем
z[sub]x[/sub]' = -2x,
z[sub]y[/sub]' = -2y и поток векторного поля через поверхность
S[sub]1[/sub] составит
Для поверхности
S[sub]2[/sub]: z = 0 z[sub]x[/sub]' = z[sub]y[/sub]' = 0 и поток векторного поля через поверхность
S[sub]2[/sub] составит
Так как проекцией поверхностей
S[sub]1[/sub] и
S[sub]2[/sub] на плоскость
Oxy будет круг
D: x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup][$8804$]4, то
(интеграл был вычислен с использованием замены
y = 2 sin t,
dy = 2 cos t dt, интервалу
-2[$8804$]y[$8804$]2 соответствует
-[$960$]/2[$8804$]t[$8804$][$960$]/2).
Согласно формуле Гаусса-Остроградского, поток вектора
a через замкнутую поверхность
S равен тройному интегралу от дивергенции этого вектора, взятому по объёму
T, ограниченному поверхностью:
В данном случае
и поток вектора
a равен
где область
T ограничена эллиптическим параболоидом
z = 4 - x[sup]2[/sup] - y[sup]2[/sup] и плоскостью
z = 0. Интеграл проще всего вычислить с помощью перехода к цилиндрическим координатам по формулам
x = r cos [$966$],
y = r sin [$966$],
z = z,
dx dy dz = r dr d[$966$] dz. Для области
T имеем
0[$8804$][$966$][$8804$]2[$960$],
0[$8804$]r[$8804$]2,
0[$8804$]z[$8804$]4-r[sup]2[/sup], и искомый интеграл будет равен