Здравствуйте, master87!
Дано : Функция f(x) = 1 / [(x + 1) · ⁵[$8730$](ln(x+1))]
Найти неопределённый интеграл [$8747$]f(x)·dx

Решение : Готовим корни и степени для интегрирования : Перемещаем корни и степени из знаменателя в числитель, чтоб представить их в виде x^a/b (см статью "Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений" Ссылка1 )

Получаем f(x) = [ln(x+1)]^-1/5 / (x + 1)
Интеграл [$8747$][ln(x+1)]^1/5·dx / (x + 1) не удаётся взять с помощью табличных интегралов. Используем Метод замены переменной (он хорошо описан в статье "Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры решений" Ссылка2 \ Пример N14)

Заменяем сложное выражение ln(x+1) переменной t :
t = ln(x+1)
Приравниваем их производные : t' = [ln(x+1)]' = 1 / (x+1)
Получаем новый дифферециал dt = dx / (x+1)
Интегрируем по новой переменной : [$8747$]t^-1/5·dt = t^4/5 / (4/5) = (5/4)·t^4/5

Возвращаемся к переменной x , заменяем t на ln(x+1)
F(x) = (5/4)·[ln(x+1)]^4/5 + C , где C = const

Ответ : интеграл равен 1,25·[ln(x+1)]^0,8 + C

Проверка обратным дифференцированием в Маткаде успешна. Скриншот прилагаю.

Альтернативное решение можно получить в Онлайн-решателе Вольфрам :
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB1+/+{(x+%2B+1)[ln(x%2B1)]^(1/5)}dx
(rfpro.ru-сервер не хочет генерить ссылку из BBCode этого URL )