Здравствуйте, gena.sorbuchev!
Профессиональные эксперты-математики не ответили на Ваш Вопрос, к сожалению. Я пытаюсь помочь Вам, поскольку срок действия Вашей Консультации истекает.
Дано : криволинейный интеграл _L[$8747$]x·dy по контуру L_AB ,
L_AB - дуга правой полу-окружности x² + y² = a² от точки A(0,-a) до точки B(0,a).
Вычислить интеграл по заданным координатам.

Решение : Для вычисления этого интеграла с непривычно-переставленными именами аргумента и функции, да ещё неявно-заданной областью интегрирования, надо пофантазировать в назначении порядка и пределов интегрирования. Процесс расстановки пределов интегрирования хорошо описан в учебно-методической статье "Двойные интегралы для чайников" Ссылка1 . Автор статьи настоятельно советует начертить график для решения подобных нетрадиционных интегралов. Ниже я прикрепил график.

Для графо-построения мне пришлось задать произвольное значение для параметра a=10 . На графике хорошо видно, что наш интеграл не просто какой-то абстрактный. Подинтегральная функция x·dy олицетворяет площадь элементарной полоски шириной x и высотой dy . Таким образом, вычисленный интеграл должен возвратить нам площадь правого полукруга [$960$]·a²/2 . Ответ текущей задачи мы уже получили.

Для обхода контура интегрирования я предлагаю 2 варианта. Первый подсказан уже в условии задачи: Разделить полукруг на полоски элементарной высоты dy и взять интеграл
_-a^a[$8747$]x(y)·dy = _-a^a[$8747$][$8730$](a² - y²)·dy
Ответ получается [$960$]·a²/2 , как и ожидали, но сам процесс взятия интеграла
[$8747$][$8730$](a² - y²)·dy проблематичен для не-матиматика. Этот интеграл отсутствует в популярных таблицах интегралов, американский хвалёный онлайн-решатель Вольфрам Ссылка2 возвратил неправильный ответ. Мне удалось "подтасовать" первообразную с помощью Маткада и проверить её обратным дифференцированием.

Второй вариант : разделить полукруг на элементарные углы d[$945$] . Тогда x(y) заменяем на a·cos([$945$]) , а dy - на a·cos([$945$])·d[$945$] .
Интеграл a²·cos²([$945$])·d[$945$] с пределами от [$945$] = -[$960$]/2 до +[$960$]/2 вычисляется сравнительно легко и возвращет тот же результат.

Ответ : криволинейный интеграл равен [$960$]·a²/2 .
Для проверки я задал a=10 и получил площадь полукруга 157 кв.ед, что соответствует площади квадратиков с голубой заливкой на графике ([$8776$]40 квадратиков по 4 кв.ед).