Здравствуйте, mega.chepyrnukh0699@list.ru!

В общем случае необходимое и достаточное условие существования экстремума (максимума или минимума) функции двух переменных z(x, y) в некоторой точке имеет вид:

При этом, если производные

положительны, это будет точка минимума, а если отрицательны - точка максимума.
Для функции z=2x[sup]2[/sup]y-x[sup]3[/sup]y-x[sup]2[/sup]y[sup]2[/sup] имеем




Из условия равенства нулю первых производных

или

определяем множество так называемых стационарных точек (в которых может быть максимум или минимум функции). Оно состоит из прямой x = 0 (ось Ox), точек (2, 0) и (1, 1/2). Значение выражения

для этих точек будет равно соответственно 0, -16 и 2, то есть (1, 1/2) - точка локального экстремума z=1/4 (максимума, с учётом отрицательности вторых производных в этой точке), (2, 0) не является точкой экстремума, для множества же точек прямой x = 0 нельзя однозначно сказать, есть ли среди них точки экстремума.
Осталось проанализировать границы области D, то есть прямую x = 0 при 0[$8804$]y[$8804$]6 и прямые y = 0, y = 6 - x при 0[$8804$]x[$8804$]6. В первых двух случаях функция z = 2x[sup]2[/sup]y-x[sup]3[/sup]y-x[sup]2[/sup]y[sup]2[/sup] = x[sup]2[/sup]y(2-x-y) тождественно равна 0, то есть не имеет точек экстремума, а для y = 6 - x она принимает вид z = -4x[sup]2[/sup](6-x) = 4x[sup]3[/sup] - 24x[sup]2[/sup]. Исследовав эту функцию одной переменной на экстремум, получаем z' = 12x[sup]2[/sup] - 48x, z'' = 24x - 48, откуда из z' = 0 определяем стационарные точки x = 0 и x = 4, для которых z'' равна соответственно -48 и 48, то есть x = 0 - точка локального максимума (z = 0), а x = 4 - точка локального минимума (z = -96).
Итак, в заданной области D функция z=2x[sup]2[/sup]y-x[sup]3[/sup]y-x[sup]2[/sup]y[sup]2[/sup] принимает максимальное значение z = 1/4 в точке (1, 1/2), а минимальное значение z = -96 - в точке (4, 2).