Здравствуйте, mega.chepyrnukh0699@list.ru!

Необходимым условием существования экстремума функции двух переменных z(x, y) в некоторой точке является равенство нулю первых частных производных этой функции в данной точке:

Оно, однако, не является достаточным, так как подобная точка (она называется стационарной) может быть не только точкой экстремума, но и так называемой седловой точкой, в окрестности которой функция как возрастает, так и убывает (в зависимости от направления).
Достаточное условие существования экстремума имеет вид:

причём, если производные

положительны, это будет точка минимума, а если отрицательны - точка максимума.
В данном случае для функции z = 6y - 3y[sup]2[/sup] - 2x[sup]2[/sup] - 8x - 6 имеем



Из условия равенства нулю первых производных

определяем стационарную точку (-2, 1), возможно являющуюся точкой экстремума. Так как выражение

для всех точек, то стационарная точка (-2, 1) является точкой экстремума. Поскольку обе частные производные второго порядка отрицательны, это - точка максимума.
Для проверки можно записать функцию в виде z = 6y - 3y[sup]2[/sup] - 2x[sup]2[/sup] - 8x - 6 = 3 - 3 + 6y - 3y[sup]2[/sup] + 8 - 8 - 2x[sup]2[/sup] - 8x - 6 = 3 - 3(1+2y-y[sup]2[/sup]) + 8 - 2(4 + x[sup]2[/sup] + 4x) - 6 = 5 - 3(1-y)[sup]2[/sup] - 2(x+2)[sup]2[/sup]. Это, очевидно, уравнение эллиптического параболоида, направленного вдоль оси z вниз, с вершиной в точке (-2, 1), являющейся единственной точкой максимума.