Здравствуйте, dar777!
Дано : L - длина стержня, [$955$] - линейная плотность заряда стержня, R - расстоянии от стержня до точки M измерения.
Рассчитать напряженность E электрического поля в точке M .
Решение : По закону Кулона модуль напряженности поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии г от него, вычисляется по формуле
E = 1 / (4·[$960$]·[$949$]·[$949$]
0·r
2) (1) (см учебник "Физика в средней школе". Аксенович, Ракина, стр217)
Здесь [$949$]
0 = 8,85·10
-12 Ф/м - электрическая постоянная, [$949$] - диэлектрическая проницаемость среды. [$949$]=1 для воздуха и вакуума, решаем задачу для воздушной среды.
Для одномерных заряженных тел (стержни, нити) используется понятие линейной плотности заряда:
[$955$] = dq / dL
Используем принцип суперпозиции электрических полей и разобьём стержень на малые элементы dy (dy << R). Из точки M они представляются точечными зарядами величиной dq = [$955$]·dy . См ниже-рисунок.
Модуль напряжённости поля в точке M равен E = [1 / (4·[$960$]·[$949$]
0·r
2)] ·
L [$8747$]([$955$]/r
2)·dr (2) (см Лит1 формулу 6.7 стр2)
Интегрирование ведётся по всем элементам dL вдоль заряженного стержня (L).
При интегрировании вдоль стержня L складываются векторы dE различного направления. Разобьём эти векторы на две компоненты dE
[$8594$]x и dE
[$8594$]y .
Тогда E
[$8594$] =
L [$8747$]dE
[$8594$] =
L [$8747$]dE
[$8594$]x +
L [$8747$]dE
[$8594$]y (3)
В силу симметрии задачи сумма векторов
L [$8747$]dE
[$8594$]y от всех участков стержня равна нулю, и задача существенно упрощается.
E
[$8594$] =
L [$8747$]dE
[$8594$] =
L [$8747$]dE
[$8594$]x (4)
Так как теперь складываются только сонаправленные векторы dE
[$8594$]x , то можно перейти к суммированию их модулей:
E =
L [$8747$]dE
x =
L [$8747$]dE·cos([$945$]) = [[$955$] / (4·[$960$]·[$949$]
0)] · [$8747$](cos([$945$])·dy / r
2 (5)
Для интегрирования удобно перейти к одной переменной - углу [$945$] . Выразим для этого координату элемента стержня:
y = R·tg([$945$]) (6)
Отсюда: dy = R·d[$945$] / [cos([$945$])]
2 (7)
Подставим r
2 = R
2 / [cos([$945$])]
2 в равенство (5) и получим:
E = [[$955$] / (4·[$960$]·[$949$]
0·R)] ·
-[$945$]0[$945$]0[$8747$](cos([$945$])·d[$945$] = [$955$]·sin([$945$]
0) / (2·[$960$]·[$949$]
0·R) (8)
Здесь [$945$]
0 - полный угол обзора верхней половины стержня из точки М . По теореме Пифагора для прямоуголного треугольника
sin([$945$]
0) = (L/2) / [$8730$][(L/2)
2 + R
2] (9)
Окончательный ответ : Модуль вектора E = [$955$]·L / [2·[$960$]·[$949$]
0·R·[$8730$](L
2 + 4·R
2)] (10)
Направление этого вектора напряжённости соврадает с направлением оси X (и компонент E
[$8594$]x , то есть - вправо по рисунку).
Сделаем хотя бы упрощённую проверку. Если представить, будто высота L стержня уменьшается до нуля, тогда стержень превращается в точечный заряд, и тогда формула (10) должна упроститься до формулы (1). При L [$8594$] 0 имеем:
q = L·[$955$] , [$955$] = q/L
E = [$955$]·L / [2·[$960$]·[$949$]
0·R·[$8730$](L
2 + 4·R
2] = q / [2·[$960$]·[$949$]
0·R·[$8730$](0
2 + 4·R
2)] = q / (2·[$960$]·[$949$]
0·R·2·R) = q / (4·[$960$]·[$949$]
0·R
2) - проверка успешна!
Та же метаморфоза происходит и при большом увеличении R , когда R >> L/2 и стержень из далёкой точки М видится, как точечный заряд.
Решение похожих задач см Лит1 стр4, Решебник ТГУ, пример1
Ссылка1Решебник gigabaza.ru \ Задача N1
Ссылка2Лит1: "Электро-статика и Магнетизм. Решебник" [url=http://vega.phys.msu.ru/files/phys/books/elec_magn.pdf ]Ссылка3[/url]