Консультация № 197791
17.02.2020, 20:17
0.00 руб.
0 15 1
Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:

Три конденсатора ёмкостями C1 = 4 мкФ, С2 = 5 мкФ и С3 = 20 мкФ соединили последовательно с резистором и ключом. Заряды конденсаторов С1 и С2 одинаковы и равны q12 = 20 мкКл , а конденсатор С3 не заряжен. Найдите протёкший через резистор заряд q и выделившееся на нём количество теплоты Q после замыкания ключа.

Обсуждение

давно
Мастер-Эксперт
259041
7459
19.02.2020, 16:15
общий
Адресаты:
Сутки назад я ответил на Вашу Консультацию rfpro.ru/question/197792
От Вас ни Оценки за Ответ, ни Спасибо за старание.
В Вашей рег-карте "Последнее посещение: 17.02.2020… (1 сут. 19 час… назад)
Похоже, Вы, как и многие авторы Вопросов, создали несколько консультаций и ушли.
Я тоже ухожу с Вашей страницы.
давно
Посетитель
403671
8
19.02.2020, 19:52
общий
Извините, были проблемы, не было возможности зайти на сайт и электронную почту. Исправлюсь!
Если можете, помогите, пожалуйста.
давно
Мастер-Эксперт
259041
7459
20.02.2020, 15:31
общий
это ответ
Здравствуйте, artemys03!
Дано: C1 = 4 мкФ, С2 = 5 мкФ, С3 = 20 мкФ, q12 = 20 мкКл.
Вычислить заряд q, протёкший ч-з резистор, и количество теплоты Q.
Решение : Я начертил небольшую эл-схему (прилагаю ниже), чтоб Вам было понятнее перетекание зарядов.
Ёмкость C конденсатора связана с его зарядом q формулой C = q/U , где U - напряжение м-ду обкладками конденсатора (см учебную статью "Электроёмкость. Конденсаторы" Ссылка1 ).
Используя эту связь, вычисляем исходное напряжение на первом конденсаторе:
U1 = q12 / C1 = 20 / 4 = 5 Вольт.
Исходное напряжение на втором конденсаторе: U2 = q12 / C2 = 20 / 5 = 4 В.
Суммарное напряжение на ключе Кл (= на 2х левых по схеме конденсаторах) до момента замыкания ключа
U0 = U1 + U2 = 5+4 = 9 В.

После замыкания ключа конденсаторы C1 и C2 разряжаются ч-з резистор R , а конденсатор C3 - заряжается встречной полярностью (плюсом слева по схеме). Ток греет резистор и спадает до нуля по экспоненциальному закону. Конечное напряжение батареи равно нулю. Зафиксируем эту мысль в виде уравнения:
U1k + U2k - U3 = 0
Добавились сразу 3 неизвестных к ранее-неизвестному искомому q !
Чтобы не запутаться в избыточно-сложной системе уравнений, упростим задачу, пользуясь тем, что в Условии НЕ запрошено вычислять состояние КАЖДОГО конденсатора после разряда. Представим, будто 2 левых по схеме конденсатора - это единый составной конденсатор с ёмкостью
C0 = 1 / (1/C1 + 1/C2) = 1/(1/4 + 1/5) = 20 / (5+4) = 20/9 мкФ
Его начальный заряд q0 = С0·U0 = (20/9)·9 = 20 мкКл (как у каждого из С1 и С2 , совпадение немного удивляет).

Конечное напряжение составного конденсатора C0 равно конечному напряжению встречно-заряженного C3, то есть:
U0k = U3
Учтём : U0k = q0k / C0 , а U3 = q3 / C3
Здесь q0k и q3 - конечные заряды конденсаторов C0 и C3 соответственно.
Заметим, что q0k = q0 - q , q3 = q , где q - искомый заряд, протёкший через резистор, потому что наша цепь - НЕ разветвлённая, и одинаковые заряды q протекли ч-з все её элементы!
Осталось решить единственное уравнение:
(q0 - q) / C0 = q / C3
Группируем неизвестные q в левую часть уравнения :
q0/C0 - q/C0 = q/C3
q/C3 + q/C0 = q0/C0
q(1/C3 + 1/C0) = q0/C0
q = q0/[C0·(1/C3 + 1/C0)] = q0·C3/(C3 + C0) = 20·20/(20 + 20/9) = 20/(1 + 1/9) = 9·20/(9 + 1) = 18 мкКл
Конденсатор C3 зарядился до напряжения U3 = q/C3 = 18/20 = 9/10 В.

Как проверить расчёт? Убедимся, что конечное напряжение составного конденсатора C0 действительно равно конечному напряжению встречно-заряженного C3 :
На конденсаторе C0 остался заряд qk = q0 - q = 20 - 18 = 2 мкКл.
Напряжение на C0 стало U0k = qk/C0 = 2/(20/9) = 2·9/20 = 9/10 В = U3 Проверка успешна!

Выделившееся на резисторе количество теплоты Q удобнее вычислить ч-з уменьшение энергии системы конденсаторов, чтоб избавиться от интегрирования экспоненциально-спадающего тока ч-з резистор.
Энергия батареи до замыкания ключа - это начальная энергия составного конденсатора C0 :
E0 = C0·U02/2 = (20/9)·92/2 = 20·9/2 = 90 мкДж .

Энергия батареи после замыкания ключа - это сумма конечных энергий конденсаторов C0 и C3 . Они оба стали заряжены до одинакового по модулю напряжения:
Ek = C0·U0k2/2 + C3·U32/2 = (C0+C3)·U32/2 = (20/9 + 20)·(9/10)2 / 2 = 10·(1/9+1)·81/100 = (100/9)·81/100 = 9 мкДж .
На резисторе выделилось Q = E0-Ek = 90 - 9 = 81 мкДж .
Ответ : заряд протёкший ч-з резистор, равен 18 мкКл, количество теплоты выделилось 81 мкДж .
5
давно
Посетитель
403671
8
20.02.2020, 18:03
общий
Спасибо огромное за помощь! Нашел свою ошибку.
давно
Посетитель
403448
16
20.02.2020, 22:03
общий
Здравствуйте, я считала энергию после замыкания клюка по формуле q^2/2C, где q - новый заряд = 18 мкКл, а С - ёмкость конденсатора, эквивалентного всем троим, и равна 2 мкФ. И получилась конечная энергия 81 мкДж. А тепла наоборот 9 мкДж. Я что-то упускаю из виду?
давно
Мастер-Эксперт
259041
7459
21.02.2020, 11:18
общий
Адресаты:
Вы ошиблись. Охотник в лесу имеет ружьё, но всё равно оглядывается, не грозит ли ему опасность? Хороший инженер имеет калькулятор и мощные вычислитель-программы, но всё равно после двух…пяти шагов проверяет, не сглупил ли он в каком-то преобразовании? Такая само-проверка постепенно вырабатывает привычку использовать для расчётов формулы, которые можно осмыслить и вовремя заметить грубый промах.

В Вашей формуле расчёта энергии конденсатора лучше применять формулу E = C·U2/2 , потому что величину U можно "пощупать" (измерить, сопоставить с др величинами…). А Вы ушли в абстракцию, заменив формулу на E = q2/(2·C) . С точки зрения физики и математики Вы сделали правильно, ведь q = C·U . Но как осмыслить q ? Да никак! И Вы утратили возможность само-проверки логическим мышлением. Ведь q батареи не поддаётся даже обычному суммированию при последовательном соединении конденсаторов (см "совпадение немного удивляет" в моём Ответе).

А если бы Вы применяли формулу E = C·U2/2 , то тут логика совсем проста : Если у Вас "С - ёмкость конденсатора, эквивалентного всем троим", то процесс разрядки левых конденсаторов спадает экспоненциально до момента, когда общее напряжение всех трёх конденсаторов становится равным нулю. А поскольку U = 0, то и E = C·U2/2 = 0 . И тогда никак не может "получилась конечная энергия 81 мкДж".

Проверяя наши решения цепей с ЭДС и резисторами методом Баланса мощностей, мы настолько привыкли, что энергия всей цепи равна сумме энергий каждого элемента цепи, что считаем Закон сохранения энергии незыблемым и лучшим тестом решения. Однако, в схемах с конденсаторами, соединёнными последовательно, есть "подводные камни"! Если концы батареи конденсаторов закоротить, то кажется, будто батарея разряжена и её энергия = 0. Однако, каждый отдельный конденсатор этой батареи имеет не равные нулю заряд, напряжение и энергию. Многие радио-любители старшего поколения получили болевой электро-удар от такого неожиданного несоответствия энергий.

Признюсь честно, я тоже допустил ошибку в первой попытке решения этой задачи. На этапе до замыкания ключа я подсчитал энергию батареи как сумму энергий каждого конденсатора. Потом обнаружил, что после замыкания ключа получается очень сложная система уравнений. Я заменил левую пару кондёров на единый кондёр, но просто так этого делать нельзя! Как говорится, "Коней на переправе не меняют". Поэтому, если начал решение с обсчётом каждого конденсатора, но надо и продолжать до конца обработку каждого конденсатора. А если заменил левую пару на единый кондёр, то надо вернуться и начать решение с начала, в том числе использовать подсчёт энергии единого кондёра вместо каждого из них. Что я и сделал.
Надеюсь, я понятно объяснил?
давно
Посетитель
400728
1649
25.02.2020, 09:34
общий
25.02.2020, 09:44
Адресаты:
Суммарное напряжение на ключе Кл
почему на ключе должно быть напряжение, если обкладка пластины правая С3 не имеет заряда, условию? . Что я не понимаю?
давно
Мастер-Эксперт
259041
7459
25.02.2020, 14:21
общий
Адресаты:
Когда в схеме есть занулённый узел (с символом перпендикуляр [$8869$] ), то говорят, что "на правом по схеме выводе ключа напряжение такое-то относительно нуль-точки, а на левом выводе - эдакое". Но когда нуль-узел НЕ показан на схеме (как в данном случае), тогда понятие "напряжение на ключе Кл" означает напряжение м-ду выводами разомкнутого ключа (а не нуля).

Теперь растолковываю мою фразу "Суммарное напряжение на ключе Кл (= на 2х левых по схеме конденсаторах) до момента замыкания ключа". В начальный момент конденсатор C3 разряжен, значит, можно заменить его перемычкой.

2 левых конденсатора заряжены один до 5 Вольт, другой до 4 В, они включены последовательно-согласно. Значит, можно мысленно заменить их батарейкой 9 Вольт.
Ток ч-з резистор R НЕ течёт в начальный момент (ибо цепь НЕ замкнута). Заменяем его перемычкой.

Итого в схеме остались Ключ разомкнутый и батарейка 9 Вольт. Меряем напряжение на выводах ключа мысленно. Получаем 9 Вольт.
У кого мысленно-фантазии не хватает, собираем схемку из ключа-тумблера, батарейки и меряем напряжение мультиметром.
Бородатый Маркс завещал нам : "Практика - критерий Истины"
давно
Посетитель
400728
1649
25.02.2020, 20:04
общий
25.02.2020, 22:48
Адресаты:
U0 = U1 + U2 +U3 = 5+4+0 = 9 В. где U3=0v из этой формулы вытекает,что можно перемычкой заменить?
У постоянного тока частота = 0, поэтому и реактивное сопротивление конденсатора на постоянном токе равно бесконечности, обрыву. а тут перемычка...
давно
Мастер-Эксперт
259041
7459
26.02.2020, 02:11
общий
Адресаты:
За много веков развития физики/электроники учёные/гении придумали очень много формул для облегчения и ускорения расчётов. Наша задача (простых смертных) использовать эти формулы по назначению, а не смешивать в одну кучу, получая при этом неправильные выводы.

Вы правильно помните : "реактивное сопротивление конденсатора на постоянном токе равно бесконечности" - но это из "какой оперы"? - это - установившийся процесс, когда ток попёр ч-з конденсатор, зарядил пластины до противо-ЭДС и дальше ток не может продолжаться. В результате (уже ПОСЛЕ заряда!) кондёр-сопротивление равно бесконечности.

А в текущей задаче в начальный момент рассмотрен совершенно другой случай ДО начала установившего процесса! Помните "Золотое правило" : "Напряжение м-ду обкладками конденсатора НЕ может измениться мгновенно!". Как только схема собрана, и на левую обкладку C3 поступил потенциал +9 Вольт от "батарейки" слева, то какой потенциал станет на правой обкладке C3 , если м-ду обкладками был ноль и он не может мигом измениться? ЭлПоле передаётся ч-з диэлектрик практически мгновенно (со скоростью света), и на правой обкладке станет ровно столько, сколько прибыло на левую. В первый момент C3 ведёт себя как перемычка.

Это потом, когда замкнули ключ, пошёл ток, C3 зарядился постепенно, вот тогда и применяйте своё реактивное.
давно
Посетитель
400728
1649
27.02.2020, 09:34
общий
Адресаты:
Его начальный заряд q0 = С0·U0 = (20/9)·9 = 20 мкКл (как у каждого из С1 и С2 , совпадение немного удивляет).
а должно удивлять? При последовательном соединении заряд может быть другим в данной схеме?
давно
Мастер-Эксперт
259041
7459
27.02.2020, 10:31
общий
Адресаты:
"а должно удивлять?" - пока человек удиляется, он живёт и развивается (малые дети удивляются всему, что увидят и спрашивают "Почему?". Нам нравятся женщины с удивлёнными глазами…)
"Самое прекрасное, что мы можем пережить - это таинственность. Кто не может больше удивляться и восхищаться, тот мёртв, и взор его погас…" (Альберт Эйнштейн)
Способность+привычка удивляться полученному результату много раз помогала мне в жизни обнаруживать ошибки и вовремя исправлять их.

"При последовательном соединении заряд может быть другим в данной схеме?" - может, например, когда когда конденсаторы С1 и С2 имели изначально НЕ одинаковые заряды. Мне показалось любопытным "открытием", что заряды 2х кондёров НЕ суммировались. По жизни я часто использовал параллельное соединение кондёров, в них заряды и ёмкости всегда суммировались!
давно
Посетитель
400728
1649
27.02.2020, 11:51
общий
27.02.2020, 11:52
Адресаты:
Цитата: Алексеев Владимир Николаевич
может, например, когда когда конденсаторы С1 и С2 имели изначально НЕ одинаковые заряды
я что-то не понимаю....
у всех конденсаторов, соединенных последовательно на обкладках имеются равные по величине заряды. то есть q1=g2=q3...qn , а как будет выглядеть условие задачи когда конденсаторы С1 и С2 имели изначально НЕ одинаковые заряды и соединены последовательно?
Типо так ,например : Заряды конденсаторов С1 и С2 равны соответственно : q1 = 20 мкКл и q2= 5мкКл , а конденсатор С3 не заряжен. И далее продолжение задачи...
Цитата: Алексеев Владимир Николаевич
Мне показалось любопытным "открытием", что заряды 2х кондёров НЕ суммировались

так суммируются заряды только при параллельном соединении... в чём здесь "открытие" ?
давно
Мастер-Эксперт
259041
7459
01.03.2020, 15:16
общий
Адресаты:
Я 3 дня думал, как разъяснить Вам "я что-то не понимаю" по поводу "у всех конденсаторов, соединенных последовательно на обкладках имеются равные по величине заряды" . Вы просто привыкли к случаю, когда ч-з все последовательно-соединённые разряженные конденсаторы пропустили одинаковый ток. Тогда, Вы правы: все они получили одинаковую порцию заряда. Но если до того, как пропустили одинаковый ток, кондёры имели разные заряды, то и в итоге у них будут разные заряды.

"в чём здесь открытие" - в ломке старой привычки, в расширении кругозора. Я полвека избегал соединять кондёры последовательно (изза их разных токов утечки выигрыш в макси-пробивном напряжении был незначительным, а общая ёмкость ухудшалась). Я просто привык к суммированию зарядов параллельно-соединённых кондёров. А в текущей задаче пришлось ломать привычку. Вот и получилось Открытие (для моей интуиции).
давно
Посетитель
400728
1649
01.03.2020, 17:56
общий
Адресаты:
Цитата: Алексеев Владимир Николаевич
просто привык к суммированию зарядов параллельно-соединённых кондёров.
думаю, что мы все привыкли считать и суммировать остатки , сколько у нас осталось в кармане до пенсии
Цитата: Алексеев Владимир Николаевич
А в текущей задаче пришлось ломать привычку. Вот и получилось Открытие (для моей интуиции).
это я сразу понял, потому что Вы взяли это слово в кавычки.
Форма ответа