Здравствуйте, nata!
Дано : Подинтегральная область D ограничена линиями D : y1(x) = 3x² , y2(x) = -³[$8730$]x , x3=2 .
Подинтегральная функция : F(x,y) = 9·x²·y² + 6·x·y
Вычислить двойной интеграл _D[$8747$]F(x,y)dxdy
Решение : Кто забыл, как вычислять двойные интегралы, я советую почитать замечательную учебную статью "Двойные интегралы для чайников" Ссылка1 , где пошагово и с картинками разъяснены принципы вычисления, а также геометрический смысл двойного интеграла.
Следуя рекомендациям статьи, строим графики ограничительных кривых y1(x) , y2(x) и вертикальной прямой x3 = 2 .
Находим точки пересечения кривых, приравняв правые части их выражений:
3·x² = -³[$8730$]x
Возводим обе части в куб-степень: 27·x⁶ = -x
Получаем 2 корня x1 = ⁵[$8730$](-1/25) = -0,517 и x2=0 .
Оказывается, подинтегральная область D не простая, она состоит их 2х областей D1 + D2 (график приложен ниже).

В бОльшей области D1 переменная x изменяется в пределах от x2=0 до x3=2 ,
а переменная y - от y2(x) до y1(x) .

В мЕньшей области D2 переменная x изменяется в пределах от x1=-0,52 до x2=0 ,
а переменная y - от y1(x) до y2(x) . Мы получили пределы интегрирования.
Теперь можно от двойного интеграла перейти к последовательному вычислению суммы повторных интегралов по двум областям : D2 и D1 . Тут мы используем свойство двойных интегралов: Если область интегрирования D можно разбить на 2 области D1 и D2, то сам двойной интеграл можно разбить на сумму 2х интегралов, см формулу1 на ниже-приложенной картинке с формулами.

Также используем ещё одно свойство повторных интегралов : внутреннй интеграл можно вычислять отдельно, чтоб не запутаться в сложных вычислениях и избавиться от громоздких выкладок. Сначала вычисляем внутреннй интеграл бОльшей области D1 по переменной y . При этом переменную x считаем константой. См формулу2 .

Подставляем пределы и получаем функцию из внутреннего интеграла I1 для области D1 :
I1y(x) = 81·x⁸ + 27·x⁵ + 3·x³ - 3·x^(5/3)

Затем вычисляем внешний интеграл для области D1 : выражение I1y(x) интегрируем по x , см формулу3 .
Подставляем пределы и получаем число, соответствующее значению двойного интеграла I1 для области D1 :
I1 = 4908 - 9·2^(2/3)/2 = 4900,9

Аналогично вычисляем внутреннй интеграл мЕньшей области D2. Формула его уже вычислена выше, надо только заменить пределы (формула4).
Затем вычисляем внешний интеграл для I2 области D2 (формула5).
Подставляем пределы от x1 до x2 и получаем число, соответствующее значению двойного интеграла I2 для области D2 : I2 = -0,1
Получилось маленькое число I2 << I1, поскольку малые значения x<0,6 возводятся в высокие степени.
Ответ : Двойной интеграл равен I1+I2 = 4900,9-0,1 = 4901 единиц.