30.05.2020, 08:53 [+3 UTC]
в нашей команде: 4 572 чел. | участники онлайн: 3 (рекорд: 21)

:: РЕГИСТРАЦИЯ

задать вопрос

все разделы

правила

новости

участники

доска почёта

форум

блоги

поиск

статистика

наш журнал

наши встречи

наша галерея

отзывы о нас

поддержка

руководство

Версия системы:
7.89 (25.04.2020)
JS-v.1.45 | CSS-v.3.39

Общие новости:
13.04.2020, 00:02

Форум:
29.05.2020, 13:47

Последний вопрос:
29.05.2020, 23:49
Всего: 152517

Последний ответ:
30.05.2020, 06:22
Всего: 260216

Последняя рассылка:
30.05.2020, 02:15

Писем в очереди:
0

Мы в соцсетях:

Наша кнопка:

RFpro.ru - здесь вам помогут!

Отзывы о нас:
30.08.2010, 15:13 »
kapezc
Спасибо за решение! [вопрос № 179733, ответ № 262927]
27.05.2010, 22:19 »
Крупицын Игорь Викторович
Огромное спасибо! [вопрос № 178678, ответ № 261707]
23.08.2019, 21:30 »
dar777
Это самое лучшее решение! [вопрос № 196163, ответ № 278563]

РАЗДЕЛ • Математика

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

[администратор рассылки: Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)]

Лучшие эксперты в этом разделе

Коцюрбенко Алексей Владимирович
Статус: Старший модератор
Рейтинг: 1551
Roman Chaplinsky / Химик CH
Статус: Модератор
Рейтинг: 349
epimkin
Статус: Специалист
Рейтинг: 241

Перейти к консультации №:
 

Консультация онлайн # 197660
Раздел: • Математика
Автор вопроса: nata (Посетитель)
Отправлена: 28.01.2020, 10:01
Поступило ответов: 1

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:

Помогите решить задачу, пожалуйста!

-----
 Прикрепленный файл (кликните по картинке для увеличения):

Состояние: Консультация закрыта

Здравствуйте, nata!
Дано : Подинтегральная область D ограничена линиями D : y1(x) = 3x2 , y2(x) = -3√x , x3=2 .
Подинтегральная функция : F(x,y) = 9·x2·y2 + 6·x·y
Вычислить двойной интеграл D∫F(x,y)dxdy
Решение : Кто забыл, как вычислять двойные интегралы, я советую почитать замечательную учебную статью "Двойные интегралы для чайников" Ссылка1 , где пошагово и с картинками разъяснены принципы вычисления, а также геометрический смысл двойного интеграла.
Следуя рекомендациям статьи, строим графики ограничительных кривых y1(x) , y2(x) и вертикальной прямой x3 = 2 .
Находим точки пересечения кривых, приравняв правые части их выражений:
3·x2 = -3√x
Возводим обе части в куб-степень: 27·x6 = -x
Получаем 2 корня x1 = 5√(-1/25) = -0,517 и x2=0 .
Оказывается, подинтегральная область D не простая, она состоит их 2х областей D1 + D2 (график приложен ниже).

В бОльшей области D1 переменная x изменяется в пределах от x2=0 до x3=2 ,
а переменная y - от y2(x) до y1(x) .

В мЕньшей области D2 переменная x изменяется в пределах от x1=-0,52 до x2=0 ,
а переменная y - от y1(x) до y2(x) . Мы получили пределы интегрирования.
Теперь можно от двойного интеграла перейти к последовательному вычислению суммы повторных интегралов по двум областям : D2 и D1 . Тут мы используем свойство двойных интегралов: Если область интегрирования D можно разбить на 2 области D1 и D2, то сам двойной интеграл можно разбить на сумму 2х интегралов, см формулу1 на ниже-приложенной картинке с формулами.

Также используем ещё одно свойство повторных интегралов : внутреннй интеграл можно вычислять отдельно, чтоб не запутаться в сложных вычислениях и избавиться от громоздких выкладок. Сначала вычисляем внутреннй интеграл бОльшей области D1 по переменной y . При этом переменную x считаем константой. См формулу2 .

Подставляем пределы и получаем функцию из внутреннего интеграла I1 для области D1 :
I1y(x) = 81·x8 + 27·x5 + 3·x3 - 3·x(5/3)

Затем вычисляем внешний интеграл для области D1 : выражение I1y(x) интегрируем по x , см формулу3 .
Подставляем пределы и получаем число, соответствующее значению двойного интеграла I1 для области D1 :
I1 = 4908 - 9·2(2/3)/2 = 4900,9

Аналогично вычисляем внутреннй интеграл мЕньшей области D2. Формула его уже вычислена выше, надо только заменить пределы (формула4).
Затем вычисляем внешний интеграл для I2 области D2 (формула5).
Подставляем пределы от x1 до x2 и получаем число, соответствующее значению двойного интеграла I2 для области D2 : I2 = -0,1
Получилось маленькое число I2 << I1, поскольку малые значения x<0,6 возводятся в высокие степени.
Ответ : Двойной интеграл равен I1+I2 = 4900,9-0,1 = 4901 единиц.


Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 02.02.2020, 05:20

5
нет комментария
-----
Дата оценки: 02.02.2020, 13:06

Рейтинг ответа:

+1

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Мини-форум консультации № 197660
Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 1

= общий = | 30.01.2020, 07:18 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
nata:

Я решил Вашу задачу rfpro.ru/question/197662 . От Вас ни Оценки, ни Спасибо.
Многие авторы вопросов создают Консультации и уходят со страницы.
Эксперты ищут давно-забытые учебные материалы по текущей теме, стараются найти Решение, объяснить его доходчиво…
Когда весь труд и время уходят в пустоту, то больше не хочется помогать таким просителям.
В Вашей РегКарте значится : "Последнее посещение: 28.01.2020, … (1 сут. 21 час… назад)" - Вы тоже ушли?

nata
Посетитель

ID: 402582

# 2

 +1 
 
= общий = | 30.01.2020, 13:37 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Алексеев Владимир Николаевич:

Нет, не ушла. Ребёнок маленький, куча проблем.))))Огромное спасибо за помощь, извините, что не сразу ответила. smile

-----
Последнее редактирование 30.01.2020, 13:38 nata (Посетитель)

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 3

= общий = | 31.01.2020, 12:31 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
nata:

Что-то математики не отвечают на Ваш Вопрос.
Если я решу Вашу задачу в Маткаде (по-другому я не умею), будет ли Вам какая-то польза от моего решения?

nata
Посетитель

ID: 402582

# 4

= общий = | 31.01.2020, 13:41 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Алексеев Владимир Николаевич:

Не знаю. Я в маткаде не решаю.))) Преподаватель требует обычное решение. Но надо посмотреть, может будет плезно.

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 5

= общий = | 01.02.2020, 12:10 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
nata:

Сегодня я скачал хорошие учебные материалы по теме Вашей Консультации :
Двойные интегралы для чайников Ссылка1
Двойной интеграл.Основные понятия иПриложения Ссылка2
Двойной интеграл.Вычисления Ссылка3
Изучаю усиленно двойные интегралы. Планирую отправить Вам Ответ ч-з 10…20 часов (как повезёт, и если эксперты-математики не ответят Вам раньше).
Пока что удалось построить график области D (прилагаю, может, он кому-то поможет ускорить решение?).

-----
 Прикрепленный файл (кликните по картинке для увеличения):

nata
Посетитель

ID: 402582

# 6

= общий = | 01.02.2020, 13:41 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Алексеев Владимир Николаевич:

Спасибо!

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 7

= общий = | 02.02.2020, 02:03 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
nata:

Я решил Вашу задачу. Ответ: 4901 ед. Ещё час с небольшим мне понадобится начертить заморочные формулы и проверить/исправить ошибки.

nata
Посетитель

ID: 402582

# 8

 +1 
 
= общий = | 02.02.2020, 13:03 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Алексеев Владимир Николаевич:

Спасибо!

nata
Посетитель

ID: 402582

# 9

 +1 
 
= общий = | 02.02.2020, 13:51 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Алексеев Владимир Николаевич:

Единственное я не поняла в конце, как получилось 4900,9-0,1=4901?По логике должен быть плюс.

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 10

= общий = | 02.02.2020, 14:22 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
nata:

Хорошо, что Вы вникаете в Решение!
"По логике должен быть плюс" - меня тоже мучил этот вопрос. Обычно в проблемных непонятках всё проясняется по принципу "от простого к сложному" (как нас учили в школе). В Вашей задаче задана абстрактно-непрактичная функция
F(x,y) = 9·x2·y2 + 6·x·y , она и мутит наше разум-восприятие, нарушая естественную логику.
А Вы попробуйте задать F(x,y) = 1 , тогда оба двойных интеграла возвратят чисто площади областей D1 и D2 - они всегда положительны! Я всё это проверил в Маткаде, ночь не спал с Вашей задачей!

Если всё равно не понятно, я могу прислать на эту страницу скрины вычислений интегралов с разными F(x,y) .

Цитирую абзац выше-указанной статьи "Двойные интегралы для чайников" : Что значит вычислить двойной интеграл ? - Вычислить двойной интеграл - это значит найти ЧИСЛО. Самое обычное число…
Результат C может быть отрицательным. И ноль тоже запросто может получиться. Немало студентов испытывают беспокойство, когда ответ получается "шото вроде как странный".
Многие помнят, что "обычный" определённый интеграл - тоже число. Здесь всё так же. У двойного интеграла существует и отличный геометрический смысл, но об этом позже".

nata
Посетитель

ID: 402582

# 11

 +1 
 
= общий = | 02.02.2020, 15:24 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Алексеев Владимир Николаевич:

Надо подумать.Пока не понимаю.

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 12

= общий = | 02.02.2020, 16:13 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
nata:

Вот так и я в юности : напрягал мозги и тратил много времени, пытаясь понять всё, что встречалось на жизненном пути вместо того, чтоб заняться спортом и стать крепким мужиком. Потом до меня дошло: прежде чем браться за долгую работу, надо оценить, окупятся ли время-затраты? Более того, умение пренебрегать погрешностями позволяет быстрее прийти к Главной цели!

В Вашем случае интеграл I2=-0,1 (по области D2) меньше I1 = 4900 (по области D1) в 50 тыс раз! Доля I2 вообще не замента, если округлить I-значение до целых! Минусующая функция F(x,y) не несёт никакого физического смысла (в отличие от D-площади например, она при F(x,y)=1 соответствует площади выделенных элементов в координатной сетке, что облегчает обнаружение ошибок!).

Ну, а если сильно хотите понять, то подсказываю: самый вредный для Вашего мозга компонент - 6·x·y - это он даёт знак минус в отрицательной X-области ! (2й член 9x^2y^2 вседа положительный и оч маленький при |x|<=0,52) . Пробуйте заменить вреднюгу нулём или чётной степенью, и Вам станет легче. smile

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 13

= общий = | 03.02.2020, 14:23 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
nata:

Когда ремонтники ищут неисправность, они постепенно выделяют повреждённый блок в общей системе. Потом в этом блоке ищут мелкий модуль, и в итоге находят элементарную заменяемую деталь.
В Вашей сложной системе Вас беспокоит сомнениями "минус" в области D2 . Рассмотрим её (как блок системы D1+D2) в увеличенном виде (график + формулы прилагаю ниже).

Для проверки самого принципа вычисления двойного интеграла временно упростим функцию-множитель F(x,y)=1 . Тогда двойной интеграл по области D2 имеет физический смысл : площадь самой области D2. Интеграл I=0,173 кв.единиц. Одна клеточка графика имеет площадь 0,01 кв.единиц. Выделенная голубой заливкой область D2 занимает 17,3 клеточек. Значит, всё точно! Интеграл вычислен правильно!

Постепенно усложняем функцию, задаём F(x,y) = 9·x2·y2 . Получаем маленькое положительное число I = 0,03 . Физического смысла тут уже нет, но и минуса нет, который Вас беспокоит.

Задаём F(x,y) = 6·x·y . Производим те же манипуляции. И вот он, виновник абстрактного минуса: исходный "Игрек" в нечётной степени в области отрицательного X-аргумента под корнем нечётной степени выдаёт маленькое отрицательное значение интеграла в области D2 . Это нормально для такой функции.

nata
Посетитель

ID: 402582

# 14

 +1 
 
= общий = | 03.02.2020, 14:39 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Алексеев Владимир Николаевич:

Мне надо время,что бы разобраться. Спасибо за помощь.

Анатолий
Посетитель

ID: 400728

# 15

= общий = | 03.02.2020, 18:49 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Алексеев Владимир Николаевич:

© Цитата: Алексеев Владимир Николаевич
Я решил Вашу задачу. Ответ: 4901 ед.
похоже ответ неверный...
пределы интегрирования внутреннего интеграла должны быть от -1/3 до 12
Подставил данный двойной интеграл на сайте и получил:
и это без учёта области D2
Поясните что не так? И Расставьте пределы интегрирования, как приведены на скриншоте



-----
Последнее редактирование 03.02.2020, 19:15 Анатолий (Посетитель)

-----
 Прикрепленный файл (кликните по картинке для увеличения):

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 16

= общий = | 04.02.2020, 02:27 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Анатолий:

Вы писали : "похоже ответ неверный" - ответ одной задачи почти всегда будет неправильным для другой задачи, за исключением редчайший совпадений ответов.

"пределы интегрирования внутреннего интеграла должны быть от -1/3 до 12" - это потому, что Вы нашли какой-то рекламный сайт и безответственно решили, будто я также безответственно отправил неправильное решение на портале rfpro.ru , где десятки экспертов и строгих модераторов "заклюют" меня за подобные выходки. Если Вы действительно и серьёзно хотите проверить правильность моего решения, то предварительно изучите учебную статью математика-профессионала Емелина Александра по выше-ссылке . Я 2 дня конспектировал эту статью в свой легко-читаемый html-формат, потом ещё 3 дня решал и пере-проверял задачу текущей консультации.

"Поясните что не так?" - Указанные Вами "пределы интегрирования внутреннего интеграла (по переменной "y") … от -1/3 до 12" годятся для области, ограниченной горизонтальными прямыми с уравнениями y=-1/3 и y=12 , а не кривыми y1(x) и y2(x) из Условия текущей задачи. На Вашем реклам-сайте я не увидел Условия ихней задачи.

"И Расставьте пределы интегрирования, как приведены на скриншоте" - от подобных советов я вспоминаю старую байку моего весёлого, подвыпившего отца, когда мне исполнилось 18 : "Почему нельзя бабу оттрахать на площади?" - Я стал гадать : "Наверное, чтоб милиция не наказала?". Батя: "Нет, сына, милиция быстро не приходит. На площади слишком много советчиков: Один кричит: Неправильно делаешь, поставь её так! Другой перекрикивает : Нет, разложи её эдак!…" Лучше всего жить своим умом. smile

Анатолий
Посетитель

ID: 400728

# 17

 +1 
 
= общий = | 04.02.2020, 08:24 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Алексеев Владимир Николаевич:

© Цитата: Алексеев Владимир Николаевич
где десятки экспертов и строгих модераторов "заклюют" меня за подобные выходки.

Что-то не видел в этом году этих экспертов: в основном отвечаете Вы по математике.
© Цитата: nata
Надо подумать.Пока не понимаю.
вот и я также не мог понять и зашёл на рекламный сайт, чтобы убедиться в правильном ответе - неужели нет такого онлайн сервера, где нельзя проверить ответ?
Для автора вопроса важен не конечный ответ, а ход решения, который исполнен Вами идеально! Но есть вопросы, которые автор Вам не задаёт...
Не всем в жизни везёт как Вам, например мне лично отец не рассказывал байки, потому что он меня не воспитывал, а создал другую семью, когда мне было 4 года....
© Цитата: Алексеев Владимир Николаевич
от подобных советов я вспоминаю старую байку
это был не совет ... smile

Анатолий
Посетитель

ID: 400728

# 18

 +1 
 
= общий = | 04.02.2020, 09:49 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Алексеев Владимир Николаевич:

Надо было так расставить пределы интегрирования:

-----
 Прикрепленный файл (кликните по картинке для увеличения):

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 19

= общий = | 04.02.2020, 10:36 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Анатолий:

Спасибо за соучастие!
Благодаря Вам обнаружил описку в своём Ответе, она получилась в процессе конвертации формул из Маткада в картинку ч-з моё Paint-художество (потому что у Автора Вопроса и её преподавателя нет Маткада, а rfpro-обработчик тэгов Формула заменяет знак умножения на большой X-подобный крест).
Я проверю свои выкладки ещё раз.

Анатолий
Посетитель

ID: 400728

# 20

 +1 
 
= общий = | 04.02.2020, 11:56 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Алексеев Владимир Николаевич:

© Цитата: Алексеев Владимир Николаевич
Я проверю свои выкладки ещё раз
хорошо когда есть хоть один оппонент... а из множества экспертов никто не постарался Вас проверить smile

Анатолий
Посетитель

ID: 400728

# 21

= общий = | 04.02.2020, 12:27 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Алексеев Владимир Николаевич:

© Цитата: Алексеев Владимир Николаевич
Выделенная голубой заливкой область D2 занимает 17,3 клеточек
это как происходил подсчёт этих клеток?
© Цитата: Алексеев Владимир Николаевич
площадь самой области D2. Интеграл I=0,173 кв.единиц.
делили эту площадь на площадь клетки?Это есть проверка? smile

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 22

= общий = | 04.02.2020, 15:25 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
nata:

В формулах моего Ответа была описка, я исправил её (при указании пределов интегрирования где сейчас 3·x2, я в процессе конвертации данных из Маткада в картинку скопировал было 3·x , надеялся дописать степень 2 позже и забыл-заморочился). Прошу прощения.
Обычно Маткад выдаёт решение как одно число, а Вам и Вашему преподавателю нужны пошаговые выкладки, верно?
Я добавил выкладки в исправленные формулы.
Ну, а результат я пере-проверил ещё раз, (наверное, уже 10й раз) - всё верно! Ошибки нет.

nata
Посетитель

ID: 402582

# 23

 +1 
 
= общий = | 04.02.2020, 15:30 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Алексеев Владимир Николаевич:

Спасибо!)))

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 24

= общий = | 04.02.2020, 15:37 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Анатолий:

"как происходил подсчёт этих клеток?" - а примерно, как курица пересчитывает своих циплят.
"делили эту площадь на площадь клетки?Это есть проверка?" - длина клетки = 0,1 ед. Значит, её площадь = 0,1^2 = 0,01 ед^2. Сопоставляем численный результат Маткад-монстра с кол-вом клеток внутри заливки. Примерно равно? - Значит грубой ошибки нет. Это - простейший метод проверки, позволяющий быстро выявить грубые промахи. Он много раз выручал меня, рассеянного, от глупых выводов и конфузов.

Анатолий
Посетитель

ID: 400728

# 25

= общий = | 04.02.2020, 16:26 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Алексеев Владимир Николаевич:

© Цитата: Алексеев Владимир Николаевич
а примерно, как курица пересчитывает своих циплят.
она не считает : она кудахчет и все цЫплята сбегаются под крыло smile
© Цитата: Алексеев Владимир Николаевич
Это - простейший метод проверки
может и так, но только примерно даёт результат, и кто муже совсем не удобнно считать эти квадратики. smile

 

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Rambler's Top100

главная страница | поддержка | задать вопрос

Время генерирования страницы: 0.16297 сек.

© 2001-2020, Портал RFPRO.RU, Россия
Калашников О.А.  |  Гладенюк А.Г.
Версия системы: 7.89 от 25.04.2020
Версия JS: 1.45 | Версия CSS: 3.39