Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 197540
07.01.2020, 12:41
0.00 руб.
17.01.2020, 03:05
0 1 1
Образование
Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:

Дана функция z=f(x,y) и две точки A(x0, y0), B(x1, y1). Требуется:
а) вычислить значение z1 функции в точке В;
б) вычислить приближённое значение z1 функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;
в) оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции её дифференциалом;
г) составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z=f(x,y) в точке С (x0, y0, z0)

z = y2-xy-x2, A(-4; 5), B(-3,92; 5,06).

Обсуждение

давно
Коцюрбенко Алексей Владимирович
Старший Модератор
312929
1973
17.01.2020, 03:53
общий
это ответ
Здравствуйте, Spam_ng!

а) z[sub]1[/sub] = y[sub]1[/sub][sup]2[/sup]-x[sub]1[/sub]y[sub]1[/sub]-x[sub]1[/sub][sup]2[/sup] = 5.06[sup]2[/sup]+3.92[$183$]5.06-(-3.92)[sup]2[/sup] = 25.6036+19.8352-15.3664 = 30.0724.
б) Приближённое значение функции вычисляется по формуле

где частные производные вычисляются в точке (x[sub]0[/sub], y[sub]0[/sub]). В данном случае
(x[sub]0[/sub], y[sub]0[/sub]) = (-4, 5), (x[sub]1[/sub], y[sub]1[/sub]) = (-3.92, 5.06), ([$916$]x, [$916$]y) = (0.08, 0.06),
z[sub]0[/sub](x[sub]0[/sub], y[sub]0[/sub]) = y[sub]0[/sub][sup]2[/sup]-x[sub]0[/sub]y[sub]0[/sub]-x[sub]0[/sub][sup]2[/sup] = 5[sup]2[/sup]+4[$183$]5-(-4)[sup]2[/sup] = 25+20-16 = 29,
[$8706$]z/[$8706$]x = -y-2x = -5-2(-4) = 3, [$8706$]z/[$8706$]y = 2y-x = 2[$183$]5-(-4) = 14
и приближённое значение функции в точке B равно
z[sub]1[/sub] [$8776$] 29 + 3[$183$]0.08 + 14[$183$]0.06 = 30.08.
в) относительная погрешность составит

г) Запишем уравнение поверхности в виде F(x, y, z) = y[sup]2[/sup]-xy-x[sup]2[/sup]-z = 0. Тогда уравнения касательной плоскости и нормали в точке (x[sub]0[/sub], y[sub]0[/sub], z[sub]0[/sub]) будут иметь вид:


где частные производные вычисляются в точке (x[sub]0[/sub], y[sub]0[/sub], z[sub]0[/sub]). В данном случае
(x[sub]0[/sub], y[sub]0[/sub], z[sub]0[/sub]) = (-4, 5, 29),
[$8706$]F/[$8706$]x = -y-2x = -5-2(-4) = 3,
[$8706$]F/[$8706$]y = 2y-x = 2[$183$]5-(-4) = 14,
[$8706$]F/[$8706$]z = -1,
уравнение касательной плоскости:

или

уравнение нормали:

Форма ответа