Здравствуйте, craft87!
1) Воспользуемся формулой для вычисления экспоненты от комплексного числа:
В данном случае
2) Проверить функцию комплексного переменного
f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y) на регулярность можно, используя условие Коши-Римана:
при условии, что все частные производные существуют и непрерывны. В данном случае
то есть
Тогда
то есть все частные производные существуют и непрерывны (как произведения непрерывных функций). причём выполняется условие Коши-Римана. Следовательно, функция
регулярна, и её производная равна
3) Воспользуемся условием Коши-Римана:
откуда
С другой стороны
и
Тогда
С'(y) = 0 [$8658$] C(y) = C и
Следовательно, искомая регулярная функция будет иметь вид