14.12.2019, 07:32 [+3 UTC]
в нашей команде: 4 066 чел. | участники онлайн: 0 (рекорд: 21)

:: РЕГИСТРАЦИЯ

задать вопрос

все разделы

правила

новости

участники

доска почёта

форум

блоги

поиск

статистика

наш журнал

наши встречи

наша галерея

отзывы о нас

поддержка

руководство

Версия системы:
7.79 (12.12.2019)
JS-v.1.35 | CSS-v.3.36

Общие новости:
28.04.2019, 09:13

Форум:
29.11.2019, 17:59

Последний вопрос:
13.12.2019, 23:25
Всего: 151261

Последний ответ:
14.12.2019, 00:35
Всего: 259569

Последняя рассылка:
14.12.2019, 01:15

Писем в очереди:
0

Мы в соцсетях:

Наша кнопка:

RFpro.ru - здесь вам помогут!

Отзывы о нас:
23.06.2010, 18:03 »
Петров Юрий Иванович
Спасибо, прога работает отлично) [вопрос № 179126, ответ № 262238]
18.08.2019, 16:02 »
dar777
Это самое лучшее решение! [вопрос № 196119, ответ № 278530]
25.08.2019, 22:30 »
dar777
Это самое лучшее решение! [вопрос № 196199, ответ № 278578]

РАЗДЕЛ • Математика

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

[администратор рассылки: Гордиенко Андрей Владимирович (Профессионал)]

Лучшие эксперты в этом разделе

Коцюрбенко Алексей Владимирович
Статус: Модератор
Рейтинг: 1546
Roman Chaplinsky / Химик CH
Статус: Модератор
Рейтинг: 526
epimkin
Статус: Бакалавр
Рейтинг: 271

Перейти к консультации №:
 

Консультация онлайн # 197272
Раздел: • Математика
Автор вопроса: pelageya.romanyuk2002 (Посетитель)
Отправлена: 01.12.2019, 07:57
Поступило ответов: 1

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:
Объясните, пожалуйста, почему в этом задании нужно возводить в квадрат. Я не понимаю
решения. Заранее спасибо за объяснение.

-----
 Прикрепленный файл (кликните по картинке для увеличения):

Состояние: Консультация закрыта

Здравствуйте, pelageya.romanyuk2002!
Дано: Сумма векторов а + b + с = 0 , |а| = 10, |b| =12 , |с| = 14 .
Вычислить сумму скалярных произведений векторов S = a·b + b·с + а·с .

Решение : "Суммой нескольких векторов а + b + с называется вектор d , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов. Такая операция выполняется по правилу многоугольника" (аннотация из учебной статьи "Сложение и вычитание векторов" Ссылка1 )
Согласно условию задачи сума векторов а + b + с равна нулю. Значит, конец последнего вектора совпадает с началом первого, образуя замкнутый треугольник.

Задача не имела бы решения, если бы один из векторов был длиннее суммы 2х других. Но используя Основные неравенства треугольника
a+b>c ; a+c>b ; b+c>a убеждаемся , что задача имеет решение в виде треугольника, построение которого возможно.
Зная длины всех сторон треугольника, можно всегда вычислить все остальные элементы треугольника и решить задачу несколькими способами.

Решим задачу самым простым для понимания способом с использованием теоремы косинусов в треугольнике :
a2 = b2 + c2 - 2·b·c·cos(A)
b2 = a2 + c2 - 2·a·c·cos(B)
c2 = a2 + b2 - 2·a·b·cos(C)

cos(A) = (b2 + c2 - a2) / (2·b·c) = (144+196-100) / (2·12·14) = 5/7 = 0,714
cos(B) = (a2 + c2 - b2) / (2·a·c) = (100+196-144) / (2·10·14) = 19/35 = 0,543
cos(C) = (a2 + b2 - c2) / (2·a·b) = (100+144-196) / (2·10·12) = 48/240 = 1/5 = 0,2

Согласно Определению "Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними" (см Ссылка2 )
a·b = |a|·|b|·cos(C) = 10·12·0,2 = 24
b·c = |b|·|c|·cos(A) = 12·14·5/7 = 120
a·c = |a|·|c|·cos(B) = 10·14·19/35 = 76

Сумма 3х скалярных произведений :
S = a·b + b·c + a·c = 24 + 120 + 76 = 220

Сделаем простую проверку : сумма всех углов в треугольнике должна равняться 180° :
A = arccos(cos(A)) = 44,4°
B = arccos(cos(B)) = 57,1°
C = arccos(cos(C)) = 78,5°
A+B+C = 180,0° - проверка успешна!

Решения похожих задач : Ссылка3 , Ссылка4 , Ссылка5

Однако, несмотря на то, что сумма всех углов в треугольнике верна и проверена, мой Ответ в первой попытке решения +220 - НЕ правильный. Также неправильное решение на странице znanija.com/task/7768877 , по примеру которой я решал Вашу задачу.
Ст модератор Лысков Игорь Витальевич разъяснил нам отличие треугольника от векторов : цитирую : "Чтобы найти скалярное произведение, надо вывести оба вектора из одной точки! А тогда все углы получаются ТУПЫМИ! Соответственно, все косинусы - отрицательными!"
Большое Спасибо Игорю Витальевичу за помощь! Но Вам нельзя ссылаться на авторитет кого-либо в своём Ответе Вашим преподавателям (за ссылку на авторитет научного сотрудника мне снизили Оценку моей дипломной работы в 1975г, я запомнил это пожизненно).
На поисковом сайте я задал запрос : смысл скалярного произведения векторов . Привожу ответы:

На ru.wikipedia.org...ное_произведение : Скалярное произведение… - операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, не зависящее от выбора системы координат… В простейшем случае обычного пространства скалярное произведение ненулевых векторов a и b определяется как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними: (a,b) = |a|·|b|·cos(Alfa)
Равносильное определение: скалярное произведение есть произведение длины проекции первого вектора на второй и длины второго вектора
"

На "Геометрический смысл скалярного произведения" Ссылка >> \ "Связь с проекциями" мы видим подтверждение предпочтительности работы именно с проекциями векторов друг на друга : Алгебраическое значение проекции вектора a на вектор b вдоль прямой, перпендикулярной b , очевидно, равно
|prba| = |a|·cos(a,b)
Аналогично |prab| = |b|·cos(a,b) .
Таким образом, скалярное произведение a·b = |a|·|prab| = |b|·|prba|

На Ссылка >> \ Пример1 : В равностороннем треугольнике ABC длины сторон равны 1. Вычислить AB·BC + BC·CA + CA·AB
AB·BC + BC·CA + CA·AB = |AB|·|BC|·cos(AB,BC) + |BC|·|CA|·cos(BC,CA) + |CA|·|AB|·cos(CA,AB) = 1·1·cos(2·pi/3) + 1·1·cos(2·pi/3) + 1·1·cos(2·pi/3) = -3/2


Таким образом, мы запоминаем главное отличие: углы внутри треугольника - острые, а их смежные углы в векторных проекциях - тупые! Поэтому, после нахождения косинусов острых углов треугольника, надо перейти к отрицательным косинусам смежных углов между векторами. И тогда
a·b = -|a|·|b|·cos(C) = 10·12·0,2 = -24
b·c = -|b|·|c|·cos(A) = 12·14·5/7 = -120
a·c = -|a|·|c|·cos(B) = 10·14·19/35 = -76

Сумма 3х скалярных произведений
S = a·b + b·c + a·c = -24 -120 - 76 = -220
Исправленный Ответ : Сумма 3х скалярных произведений равна -220 .

Вы спрашивали "почему в этом задании нужно возводить в квадрат" - на доказательство правильности второго решения методом "Скалярный квадрат" моего старого ума не хватает, и мой лимит времени исчерпан.
Если Вам очень нужно такое доказательство, то никто не запретит Вам задать свой вопрос повторно со ссылкой на эту консультацию и уточнением о том, что задача уже решена, и Вы просите только разъяснение альтернативного метода.


Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 02.12.2019, 14:02

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Мини-форум консультации № 197272
pelageya.romanyuk2002
Посетитель

ID: 401514

# 1

= общий = | 01.12.2019, 07:57 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

Вот само задание.

-----
 Прикрепленный файл (кликните по картинке для увеличения):

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 2

= общий = | 01.12.2019, 16:36 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
pelageya.romanyuk2002:

Вы спрашивали "почему в этом задании нужно возводить в квадрат" - не нужно, а можно, как 1 из вариантов, использующий свойство "Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля" :
(u)2 = |u|2 (свойство основано на том, что при перемножении одинаковых векторов угол м-ду ними = 0, и cos(0) = 1 ).
Решение похожей задачи по этому методу см на Ссылка1
или Ссылка2

Вы также можете использовать альтернативное решение по теореме косинусов znanija.com/task/7768877

"Я не понимаю решения" - подсказываю : Поскольку сумма 3х векторов равна нулю, значит при их последовательном соединении конец последнего вектора совпадает с началом первого, образуя замкнутый треугольник. Зная длины всех сторон треугольника, можно всегда решить задачу одним из 2х выше-упомянутых методов.

Дальше сами справитесь? Если нет, то просите готовое Решение. Сейчас у нас уже полночь (по Владивостоку), а завтра я смогу решить Вашу задачу, если другие эксперты не решат её раньше.

-----
Последнее редактирование 02.12.2019, 02:57 Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)

pelageya.romanyuk2002
Посетитель

ID: 401514

# 3

= общий = | 02.12.2019, 06:04 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

Да, можно пожалуйста решение. Буду очень благодарна.

pelageya.romanyuk2002
Посетитель

ID: 401514

# 4

= общий = | 02.12.2019, 14:18 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

В книге ответ -220. Откуда минус?

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 5

= общий = | 02.12.2019, 14:39 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
pelageya.romanyuk2002:

Вы писали : "В книге ответ -220. Откуда минус?" - какая книга? Вы можете опубликовать сюда страницу из книги с методическим указанием по решению подобной задачи? Или ссылку на эту "методичку"?
Я не зря тратил время на проверку решения. Все углы в треугольнике - острые. Значит, все косинусы - положительные. Минусу НЕоткуда взяться.

pelageya.romanyuk2002
Посетитель

ID: 401514

# 6

= общий = | 02.12.2019, 14:40 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

Там просто ответы на тесты. Это задание В части, на него две ответ -220. Я поэтому и спрашивала, почему такой ответ, так как у меня тоже ответ положительный получился...

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 7

= общий = | 02.12.2019, 14:50 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Экспертам раздела:

Уважаемые математики, как вы считаете, почему в задачнике ответ отрицательный, а у меня и автора Вопроса - положительный?

Я догадываюсь, если решить задачу методом "Скалярный квадрат", как в Решении на странице по Ссылке , то мы получим "минус". Но ведь знак Ответа не должен зависеть от метода решения, верно?

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 8

= общий = | 02.12.2019, 15:13 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

Прилагаю Решение N2 методом "Скалярный квадрат" в Маткаде.
Желаемый "минус" получен, но как доказать, что этот упрощённый метод более правильный, чем классическая Теорема косинусов?

-----
 Прикрепленный файл (кликните по картинке для увеличения):

pelageya.romanyuk2002
Посетитель

ID: 401514

# 9

 +1 
 
= общий = | 02.12.2019, 16:03 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

Спасибо большое, но сама не знаю, почему так выходит...(((

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 10

= общий = | 02.12.2019, 16:25 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
pelageya.romanyuk2002:

Может, профессиональные математики найдут время объяснить расхождение?

Интуиция подсказывае мне, что мы с Вами получили правильное решение со знаком плюс.
А метод "Скалярный квадрат" - это внешне-эффектное упрощение, которое НЕ всегда совпадает с правильным ответом.

pelageya.romanyuk2002
Посетитель

ID: 401514

# 11

= общий = | 02.12.2019, 16:36 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

Видимо не найдут времени ответить на наш с Вами вопрос...

Лысков Игорь Витальевич
Старший модератор

ID: 7438

# 12

= общий = | 02.12.2019, 16:54 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Алексеев Владимир Николаевич, pelageya.romanyuk2002:

Полагаю, дело в том, что вы невнимательно прочитали условие:
Требуется найти не ab + bc + ca, a ab + bc + ac smile smile

=====
"Если вы заметили, что вы на стороне большинства, —
это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 13

= общий = | 02.12.2019, 17:16 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Лысков Игорь Витальевич:

Спасибо, Игорь Витальевич за внимание и Ваше участие в нашей проблеме.
Однако, я мысленно обработал варианты ca и ac 4 часа назад и пришёл к выводу :
Согласно Определению "Скалярным произведением двух ненулевых векторов a→ и b→ называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними"

Для a·c = |a|·|c|·cos(B) = 10·14·19/35 = 76
модули |a| = |-a| , |c| = |-c - знако-НЕзависимы.
cos(B) - функция чётная.
Мне думается, результат a·c =c·a

Завтра утром ещё проверю. У нас уже полночь.

Лысков Игорь Витальевич
Старший модератор

ID: 7438

# 14

= общий = | 02.12.2019, 17:24 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Алексеев Владимир Николаевич:

Cos, конечно, функция четная, но тут, полагаю, речь идет о cos(π - B) = - cos(B)
Впрочем, тогда не сходятся числа smile
Надо будет еще раз внимательно проверить. smile

-----
Последнее редактирование 02.12.2019, 17:27 Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)

=====
"Если вы заметили, что вы на стороне большинства, —
это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 15

= общий = | 02.12.2019, 17:30 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Лысков Игорь Витальевич:

На ru.wikiversity.o...ведение_векторов написано
Коммутативность скалярного произведения : u⋅v=v⋅u
Значит точно a·c = c·a
До завтра smile

Лысков Игорь Витальевич
Старший модератор

ID: 7438

# 16

 +1 
 
= общий = | 02.12.2019, 17:50 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Алексеев Владимир Николаевич:

я понял, в чем дело smile
Дело в том, что все углы будут тупыми! Чтобы найти скалярное произведение, надо вывести оба вектора из одной точки!
А тогда все углы получаются ТУПЫМИ! Соответственно, все косинусы - отрицательными!

=====
"Если вы заметили, что вы на стороне большинства, —
это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен

Алексеев Владимир Николаевич
Мастер-Эксперт

ID: 259041

# 17

= общий = | 03.12.2019, 04:27 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер
Лысков Игорь Витальевич:

Большое спасибо, Игорь Витальевич!
С Вашей помощью я разобрался и подправил, как мог, свой неправильный Ответ.
Вы - настоящий математик и добрейший товарищ!

 

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Яндекс Rambler's Top100

главная страница | поддержка | задать вопрос

Время генерирования страницы: 0.18684 сек.

© 2001-2019, Портал RFPRO.RU, Россия
Калашников О.А.  |  Гладенюк А.Г.
Версия системы: 7.79 от 12.12.2019
Версия JS: 1.35 | Версия CSS: 3.36