Здравствуйте, igor0509!
Дано : кривая задана параметрически : x = t
2 - 1 ; y = t
3 - t
Решение : После долгих неудач в попытках взять Ваш НЕопределённый интеграл (по Вашему пути моими мозгами), я на google.ru я задал поиск по фразе
онлайн решение неопределенных интеграловВозвратилось множество находок, и притом интересных, с пошаговым пояснением методов взятия интегралов.
kontrolnaya-rabota.ru/s/integral/neopredelennyij/ не смог взять Ваш НЕопределённый интеграл, но вычислил его с фиктивными пределами (как Маткад).
math.semestr.ru/math/int.php умеет решать простые интегралы, но на Ваш возвратил глюк . Этот сервис загажен рекламой.
Многие рус-сервисы типа
allcalc.ru/node/660 работают, как посредники и используют вычислитель от www.wolframalpha.com .
Но Вы и сами можете загрузить буржуйский решатель
wolframalpha.com , если немного знаете английский.
На его странице в большое поле ввода формулы вводите для начала лёгкую пробную задачу, например,
int sin(3x+1)жмёте "=" (правее), ждёте 15 секунд и получаете результ.
Ссылка5 выдал решение Вашего интеграла, но оно очень громоздкое и в комплексных числах.
Ссылка6 возвратил аналогичное решение для аргумента x .
Значит, Ваша задача НЕ имеет решения в действительных числах, если решать её методом взятия НЕопределённого интеграла (без наложенного ограничения).
Однако, большое Спасибо эксперту epimkin (настоящий Математик!) за подсказку в минифоруме : Достаточно ограничить вычисление определённого интеграла лишь в полезной области определения собственно петли (при -1 <= t <= +1), и задача имеет простое, красивое решение. Прилагаю его в Маткаде.
Ответ : Длина петли L = 2,72 единиц длины.