Консультации Портала - Консультация #196606

Задать вопрос Консультации Пользователи Форум

Задать вопрос экспертам

Консультация № 196606

08.10.2019, 08:53

0.00 руб.

0 1 1

Образование

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:
точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях x = Asin2wt y = Acoswt A = 5 см w = п/3 рад/с уравнение траектории и построить её. Сделать рисунок.

Обсуждение

давно

Гордиенко Андрей Владимирович

Мастер-Эксперт
17387
18345

11.10.2019, 09:16

общий

это ответ

Здравствуйте, dar777!

Дано: x=Asin(2[$969$]t), см, y=Acos([$969$]t), см -- уравнения колебаний точки во взаимно перпендикулярных направлениях; A=5 см -- амплитуда колебаний точки в обоих направлениях; [$969$]=[$960$]/3 рад/с -- циклическая частота колебаний точки вдоль оси ординат.

Определить: F(x, y)=0 -- уравнение результирующего колебания точки.

Решение

Чтобы вывести уравнение результирующего колебания точки, исключим время t из заданных уравнений колебаний. Для этого воспользуемся формулами cos([$945$]/2)=+-[$8730$]((1+cos([$945$]))/2) [1, с. 36], сos²([$945$])+sin²([$945$])=1 [1, с. 19]. Приняв [$945$]=2[$969$]t, получим

x=Asin([$945$]),

sin([$945$])=x/A; sin²([$945$])=x²/A²;

y=Acos([$945$]/2)=+-A[$8730$]((1+cos([$945$]))/2),

y²=A²((1+cos([$945$]))/2),

cos([$945$])=2y²/A²-1, cos²([$945$])=(2y²/A²-1)²;

x²/A²+(2y²/A²-1)²=1,

x²/A²+4y⁴/A⁴-4y²/A²=0,

x²/A²-4y²/A²(1-y²/A²)=0,

x²-4y²(1-y²/A²)=0,

x²-4y²(1-y²/25)=0,

-- искомое уравнение траектории точки; его можно задать и так:

x=+-2y[$8730$](1-y^2/25).

График этой линии показан в прикреплённом файле. Синим цветом обозначена линия x=-2y[$8730$](1-y^2/25), красным цветом -- линия x=+2y[$8730$](1-y^2/25).

В задании указаны циклические частоты обоих колебаний. Поэтому, наверное, нужно установить, как точка движется по изображённой траектории. Заметим, что согласно формуле на странице 110 [2] период колебаний вдоль оси абсцисс составляет T_x=2[$960$]/(2[$969$])=[$960$]/[$969$]=[$960$]/([$960$]/3)=3 (с), период колебаний вдоль оси ординат составляет T_y=2[$960$]/[$969$]=2[$960$]/([$960$]/3)=6 (с). Период результирующих колебаний равен наименьшему общему кратному этих чисел и составляет T=6 с. Зададимся значениями t от 0 до 6 с с шагом [$916$]t=1 с и составим таблицу координат точки в соответствии с заданными уравнениями колебаний. Получим

[table]
[row][col]Номер точки[/col][col]1[/col][col]2[/col][col]3[/col][col]4[/col][col]5[/col][col]6[/col][col]7[/col][/row]
[row][col]t, с[/col][col]0[/col][col]1[/col][col]2[/col][col]3[/col][col]4[/col][col]5[/col][col]6[/col][/row]
[row][col]x, см[/col][col]0[/col][col]4,33[/col][col]-4,33 [/col][col]0[/col][col]4,33[/col][col]-4,33[/col][col]0[/col][/row]
[row][col]y, см[/col][col]5,00[/col][col]2,50[/col][col]-2,50[/col][col]-5,00[/col][col]-2,50[/col][col]2,50[/col][col]5,00[/col][/row]
[/table]

Пронумерованные положения точки тоже показаны в прикреплённом файле.

Ответ: x²-4y²(1-y²/25)=0, или x=+-2y[$8730$](1-y^2/25).

Литература
1. Новосёлов С. И. Тригонометрия. Учебник для 9 -- 10 классов средней школы. -- М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1961. -- 96 с.
2. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. -- М.: Наука, 1977. -- 944 с.

Прикрепленные файлы:

56ebbc32266bb01553870f4ba901f4e723106397.png

скачать (23.00 кБ)

Это самое лучшее решение!

Об авторе:
Facta loquuntur.

Форма ответа

Отправка постов/ответов доступна только зарегистрированным и подтвержденным пользователям.

Если Вы уже зарегистрированы на Портале - войдите в систему, если Вы еще не регистрировались - пройдите простую процедуру регистрации.