Здравствуйте, dar777!
Дано : L - индуктивность катушки, E - ЭДС батарейки, A - работа, совершённая батарейкой.
Узнать : время tp - работы батарейки.

Решение : После замыкания ключа К (согласно схеме на Вашем рисунке) через катушку начинает протекать равномерно-возрастающий ток. Ток через катушку не может измениться мгновенно, поскольку в катушке возникает ЭДС самоиндукции Ei , препятствующая изменению тока. Эта Ei = -E .

ЭДС самоиндукции Ei связана с индуктивностью катушки L и изменением тока формулой
Ei = -L·dI/dt (см ru.wikipedia.org/wiki/Индуктивность )
Тогда dI = (E/L)·dt , I(t) = E·t/L

С течением времени мощность батареи линейно возрастает P(t) = E·I(t) = E²·t/L
Можно связать эту мощность с заданной в Условии работой так :


Но удобнее воспользоваться простотой схемы и вместо высшей математики сообразить, что вся затраченная работа батареи перешла в энергию катушки :
A = W_L = L·I(tp)²/2 = L·E²·tр²/(2·L²) = E²·tр²/(2·L)
откуда : tр² = 2·A·L / E²
Ответ : Искомое время работы батарейки tр = [$8730$](2·A·L) / E

Проверка сделана в Маткад-вычислителе подстановкой нескольких вариантов числовых значений.
Например, при E=5 В, L=0,1 Гн, A=100 Дж время работы батарейки всего tp=0,89 сек.

Решения похожих задач: Самоиндукция.Материалы поФизике.Яковлев.pdf mathus.ru/phys/selfind.pdf
"Влияние самоиндукции на ток при замыкании и размыкании цепи, содержащей индуктивность" Ссылка3
С какой скоростью начнёт возрастать ток, если замкнуть цепь? rfpro.ru/question/194509