Здравствуйте, dar777!
Дано: m
1=12 кг -- масса горизонтального цилиндра, который вращается вокруг своей оси под действием груза; m
2=1,2 кг -- масса груза.
Определить: K(4) -- кинетическую энергию системы "цилиндр -- груз" в момент времени t=4 с после начала движения.
Решение
Установим зависимость K(t) кинетической энергии системы "цилиндр -- груз" от времени. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех частей этой системы [1, с. 31]. В рассматриваемом случае K=K
1+K
2, где K
1=J[$969$]
2/2 -- кинетическая энергия цилиндра, который имеет момент инерции относительно оси вращения, равный J=m
1R
2/2 (R -- радиус цилиндра) [1, с. 45], и вращается с угловой скоростью [$969$]=v/R [1, с. 39]; K
2=m
2v
2/2 -- кинетическая энергия груза, который поступательно перемещается вниз со скоростью v, зависящей от времени [1, с. 31]. Следовательно,
K=J[$969$]2/2+m2v2/2=(m1R2/2)(v/R)2/2+m2v2/2=m1v2/4+m2v2/2=(m1+2m2)v2/4.
Согласно второму закону Ньютона [1, с. 22], для груза в проекциях на ось x (рисунок в прикреплённом файле) имеем m
2a=m
2g-T, где g[$8776$]9,81 м/с
2 -- ускорение свободного падения [1, с. 583]; T -- сила натяжения нити; a -- ускорение груза. Тогда
T=m2(g-a).
Согласно уравнению динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси [1, с. 44], для цилиндра имеем J[$949$]=TR, где [$949$]=a/R -- угловое ускорение цилиндра. Тогда
(m1R2/2)(a/R)=m2(g-a)R,
(m1R/2)a=m2Rg-m2Ra,
m1Ra=2m2Rg-2m2Ra,
(m1+2m2)a=2m2g,
a=2m2g/(m1+2m2).
Поскольку a=dv/dt [1, с. 14], постольку dv=adt,
0[$8747$]
vdv=a
0[$8747$]
tdt, v(t)=at=2m
2gt/(m
1+2m
2),
K=(m1+2m2/4)(2m2gt/(m1+2m2))2=(m2gt)2/(m1+2m2),
K(4)=(1,2*9,81*4)2/(12+2*1,2)[$8776$]154 (Дж).
Ответ: 154 Дж.
Литература: Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. -- М.: Высшая школа, 1989. -- 608 с.
Об авторе:
Facta loquuntur.