Здравствуйте, dar777!
Хорошая схема - залог быстрого и успешного решения! Добавляем в Вашу схему позиционные обозначения и зададим предполагаемые направления токов и напряжений (НЕугаданные направления будут скорректированы знаком Минус в окончательном Решении).

В условии задачи задано "В электрическую цепь… включено устройство P с неизвестной электрической схемой". Можно получить множество решений, если подставить удачный практический эквивалент в качестве "устройство P с неизвестной электрической схемой". Начнём гадать.

Предположим, P - это резистор с каким-то сопротивлением Rp , обеспечивающим доп-условие "При подсоединении к клеммам A1B1 и A2B2 идеальных вольтметров они показали одинаковое напряжение", то есть U1 = U2 .
Алгебраическая сумма токов в любом узле равна 0 (1й закон Кирхгофа), поэтому
I1 = I2 + Ip
Напряжения и токи в ветвях связаны законом Ома :
E1 - U1 = I1·r1
E2 - U2 = I2·r2 заменяем на E2 - U1 = I2·r2 , потому что U1 = U2 (уменьшить к-во неизвестных и уравнений в системе).
U1 - Up = I1·R1
U2 + Up = I2·R2 заменяем на U1 + Up = I2·R2 , потому что U1 = U2 .
Up = Ip·Rp

Решать эту систему из 6 уравнений с 6 неизвестными удобно в бесплатном приложении ru.wikipedia.org/wiki/Mathcad . Маткад вычисляет всё быстро и страхует от ошибок типа "человеческий фактор". Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.

Маткад показал, что устройство P с неизвестной электрической схемой НЕ может быть простым, одиночным резистором. Но оно может быть простым, одиночным Источником тока с Ip = 5,67 А . В этом случае "При подсоединении к клеммам A1B1 и A2B2 идеальных вольтметров они показали одинаковое напряжение" равное U1 = U2 = 11,33 Вольта, то есть 34/3 В , как подсказано в Условии задачи.

Я опубликовал лишь 2 варианта решения для примера (успешный и неуспешный). Однако, эта задача имеет множество других решений. Можно например :
1)Добавить в схему устройства P дополнительные резисторы параллельно источнику тока,
2)Заменить источник тока на источник ЭДС с последовательно-соединёнными резисторами,
3)Заменить источник тока на одиночный резистор, но при этом уменьшить E1 = 20 В на примерно 10%, и тд.