Здравствуйте, natasha.ia!
Трудность Вашей задачи - в небольшой заморочке, вызванной совпадением букв : в Условии задан закон
[$966$](t)=А·t²
а формула углового перемещения выглядит в общем случае очень похоже :
[$966$](t) = [$966$]₀ + [$969$]₀·t + a·t²/2
В нашей задаче начальный угол [$966$]₀ и начальная угловая скорости [$969$]₀ НЕ заданы, считаем, будто они равны 0.
А угловое ускорение "a" надо отличать от заданного в условии коэффициента "А" !
Поскольку А·t² = a·t²/2 , значит, угловое ускорение a = 2A рад/сек²

Угол поворота радиус-вектора частицы в момент t1 равен [$966$](t1) .
Угол поворота радиус-вектора частицы в момент t2 равен [$966$](t2) .
Угловое перемещение частицы в интервале времени от t1 до t2 будет [$916$][$966$] = [$966$](t2) - [$966$](t2) - в радианах.
Полный оборот равен 2[$960$] радиан.
Значит, искомое число оборотов N, которые частица совершит в интервале времени от t1 до t1 будет N = ([$966$](t2) - [$966$](t1)) / 2[$960$]

Для момента времени t2 вычисляем угловую скорость, как производную угла поворота по времени:
[$969$] = d[$966$](t) / dt

В этот момент Линейная скорость: V=[$969$](t2)*R = 0,08 м/с

Тангенциальное ускорение (направлено по касательной к окружности) находим как производную Линейной скорости :
a[$964$] = dV / dt
Модуль Тангенциального ускорения имеет постоянное значение 0,02 м/с² .

Модуль Нормального ускорения (оно направлено к центру окружности) вычисляем по формуле a_n = V(t)² / R
Я делаю вычисления в бесплатном приложении Маткад Ссылка1 , он вычисляет всё быстро и страхует меня от частых ошибок типа "человеческий фактор". Маткад-скриншот прилагаю.

Модули тангенциальноно и полного ускорений связаны формулой a[$964$] = a*cos([$945$])
Значит, искомый угол [$945$] между векторами тангенциального и полного ускорений в момент времени t2 будет равен
[$945$]= arccos(a[$964$] / a)

Решения похожих задач по Вашей теме Вы можете посмотреть на rfpro.ru/question/194284 , rfpro.ru/question/195300 , rfpro.ru/question/194916

Если что-то не понятно, спрашивайте в минифоруме.