Здравствуйте, third_life!

1. Сделаем замену переменной t = sin x. Тогда dt = cos x dx и


2. Циркуляция векторного поля

вдоль контура L определяется интегралом

который можно вычислить по формуле Грина:

где D - область, ограниченная контуром L. В данном случае


и

где область D = {0 [$8804$] x [$8804$] 1, x[sup]2[/sup] [$8804$] y [$8804$] 2x[sup]2[/sup]}. Данный двойной интеграл сводится к повторному:


то есть искомая циркуляция равна 2/3.

3. Масса плоской фигуры D с плотностью [$961$](x, y) определяется интегралом

В данном случае для однородной фигуры можно считать [$961$] [$8801$] 1, фигура D = {0 [$8804$] x [$8804$] 4, x [$8804$] y [$8804$] 4x} и соответствующий двойной интеграл сводится к повторному:


4. Запишем уравнение в виде

Уравнение вида

является уравнением в полных дифференциалах, если функции M и N непрерывны, дифференцируемы и имеют непрерывные частные производные, причём

Тогда левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), причём

В данном случае M(x, y) = xy + 1, N(x, y) = x[sup]2[/sup] и

то есть

Тем не менее, иногда удаётся подобрать такой дополнительный множитель [$956$](x, y), что уравнение

становится уравнением в полных дифференциалах. Тогда для этого уравнения будет выполняться условие

или

откуда

или после деления на [$956$]

В данном случае

Это условие выполняется, если

откуда

Домножая исходное уравнение на e[sup]xy[/sup], получаем

Для этого уравнения M(x, y) = (xy + 1)e[sup]xy[/sup], N(x, y) = x[sup]2[/sup]e[sup]xy[/sup] и

то есть имеем уравнение в полных дифференциалах, левая часть которого - полный дифференциал некоторой функции u(x, y). Так как

то

Тогда

а с другой стороны

Приравнивая, получаем

откуда

и

то есть общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид


5. Соответствующее характеристическое уравнение

имеет корни k[sub]1[/sub] = k[sub]2[/sub] = -2, то есть один вещественный корень кратности 2, поэтому общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид