Здравствуйте, third_life!

1. Сделаем замену переменной t = arcsin x. Тогда dt = dx/[$8730$]1-x[sup]2[/sup] и


2. Циркуляция векторного поля

вдоль контура L определяется интегралом

который можно вычислить по формуле Грина:

где D - область, ограниченная контуром L. В данном случае


и

Данный двойной интеграл численно равен площади области D = {0 [$8804$] x [$8804$] 2, 0 [$8804$] y [$8804$] 3x}, представляющей собой прямоугольный треугольник размером 2 на 6. Его площадь может быть вычислена непосредственно и равна 2[$183$]6/2 = 6. Так как контур треугольника пробегается по часовой стрелке, то циркуляция будет иметь противоположный знак, то есть равняться -6.

3. В общем случае статический момент относительно оси Ox плоской фигуры D с плотностью [$961$](x, y) определяется интегралом

В данном случае для однородной фигуры можно считать [$961$] [$8801$] 1, фигура D = {0 [$8804$] x [$8804$] 4, 0 [$8804$] y [$8804$] x[sup]2[/sup]} и соответствующий двойной интеграл сводится к повторному:


4. Уравнение вида

является уравнением в полных дифференциалах, если функции M и N непрерывны, дифференцируемы и имеют непрерывные частные производные, причём

Тогда левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), причём

В данном случае M(x, y) = (2-9xy[sup]2[/sup])x = 2x - 9x[sup]2[/sup]y[sup]2[/sup], N(x, y) = (4y[sup]2[/sup] - 6x[sup]3[/sup])y = 4y[sup]3[/sup] - 6x[sup]3[/sup]y и

то есть имеем уравнение в полных дифференциалах, левая часть которого - полный дифференциал некоторой функции u(x, y). Так как

то

Тогда

а с другой стороны

Приравнивая, получаем

откуда

и

то есть общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид


5. Соответствующее характеристическое уравнение

имеет корни k[sub]1[/sub] = -4/3, k[sub]2[/sub] = 2. Оба корня вещественные и различны, поэтому общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид