Здравствуйте, third_life!
1. Сделаем замену переменной
t = sin x. Тогда
dt = cos x dx и
2. Циркуляция векторного поля
вдоль контура
L определяется интегралом
который можно вычислить по формуле Грина:
где
D - область, ограниченная контуром
L. В данном случае
и
где область
D = {0 [$8804$] x [$8804$] 3, x [$8804$] y [$8804$] 7x}. Данный двойной интеграл сводится к повторному:
то есть искомая циркуляция равна
-324.
3. В общем случае статический момент относительно оси
Ox плоской фигуры
D с плотностью
[$961$](x, y) определяется интегралом
В данном случае для однородной фигуры можно считать
[$961$] [$8801$] 1, фигура
D = {0 [$8804$] x [$8804$] 4, [$8730$]x [$8804$] y [$8804$] 2[$8730$]x} и соответствующий двойной интеграл сводится к повторному:
4. Уравнение вида
является уравнением в полных дифференциалах, если функции
M и
N непрерывны, дифференцируемы и имеют непрерывные частные производные, причём
Тогда левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции
u(x, y), причём
В данном случае
M(x, y) = 2xy,
N(x, y) = x[sup]2[/sup] - y[sup]2[/sup] и
то есть имеем уравнение в полных дифференциалах, левая часть которого - полный дифференциал некоторой функции
u(x, y). Так как
то
Тогда
а с другой стороны
Приравнивая, получаем
откуда
и
то есть общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид
5. Соответствующее характеристическое уравнение
имеет корни
k[sub]1[/sub] = -3,
k[sub]2[/sub] = 0. Оба корня вещественные и различны, поэтому общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид