Здравствуйте, Сергей!
1. Сделаем замену переменной
x = 3 - t[sup]5[/sup]. Тогда
dx = -5t[sup]4[/sup] dt и
2. Циркуляция векторного поля
вдоль контура
L определяется интегралом
который можно вычислить по формуле Грина:
где
D - область, ограниченная контуром
L. В данном случае
и
где область
D = {0 [$8804$] x [$8804$] 1, 4x [$8804$] y [$8804$] 6x}. Данный двойной интеграл сводится к повторному:
то есть искомая циркуляция равна
5/3.
3. В общем случае статический момент относительно оси
Oy плоской фигуры
D с плотностью
[$961$](x, y) определяется интегралом
В данном случае для однородной фигуры можно считать
[$961$] [$8801$] 1, фигура
D = {0 [$8804$] x [$8804$] 1, 4x [$8804$] y [$8804$] 12x} и соответствующий двойной интеграл сводится к повторному:
4. Уравнение вида
является уравнением в полных дифференциалах, если функции
M и
N непрерывны, дифференцируемы и имеют непрерывные частные производные, причём
Тогда левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции
u(x, y), причём
В данном случае
M(x, y) = y/x,
N(x, y) = y[sup]3[/sup] + ln x и
то есть имеем уравнение в полных дифференциалах, левая часть которого - полный дифференциал некоторой функции
u(x, y). Так как
то
Тогда
а с другой стороны
Приравнивая, получаем
откуда
и
то есть общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид
5. Соответствующее характеристическое уравнение
имеет корни
k[sub]1[/sub] = 4,
k[sub]2[/sub] = 0. Оба корня вещественные и различны, поэтому общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид