"оформить временное место жительства" (2) - более конкретная фраза, потому что "временное проживание" может быть в гостинице тур-базы, в гостях у родственников, в больнице...

"Какие варианты сочетания правильны помимо "оформить разрешение на временное проживание" - "получить разрешение в органе власти" (требовалось, например, для моей дочери, приехавшей ко мне в гости изза границы), "оформить регистрацию временного проживания" (для граждан с паспортом без прописки).

"(где именно используется название документа)? Можно ли это формально доказать?" - в нашей жизни есть много более полезных дел (например, тренировать своё умение выражать свои мысли конкретно и недвусмысленно), чем искать документы от чиновников, чтоб победить в споре с доктором. В русском якобы "могучем" языке так много узаконенного мусора, что Ваша победа в споре не сделает Вас более счастливым или культурным человеком, которого будут хорошо понимать иностранцы и др цивилизованные люди.

Дело в том, что конкретики как раз нет. Перевод на русский язык допускает множество вариантов, т.е. временное проживание может быть где угодно. Вопрос принципиален, т.к. один бал за данную часть уже влияет на общую оценку, а спорных ситуаций несколько.
Кроме того, Ожегов утверждает, что можно оформить временное проживание https://slovar.cc/rus/ojegov/609347.html.

-
Задание выполнял не-носитель, проверял не-носитель. И какое-то заученное словосочетание не является единственно правильным. Более конкретно не говорю, т.к. возможно будет загуглено, а результат должен быть, минус или плюс.

Вы сдаёте какой-то экзамен по русскому языку? Тогда ждите, возможно специалисты по языку ответят Вам с привязкой к каким-то правилам?
А я подумал, будто Вы из любопытства тратите свою жизнь на разборки слово-блудия и затеяли бесполезный спор с доктором.
Я ухожу с Вашей страницы, чтоб не мешать Вам. А Вы следующий раз задавайте Вопросы по-конкретнее, чтоб получить такой же обстоятельный Ответ.