Здравствуйте, Gerren!

Согласно [1, с. 369], при (вакуум) потенциальная энергия электрического заряда в данной точке электростатического поля, удалённой на расстояние от заряда создающего поле, при условии, что равна

Выражение представляет собой потенциал поля точечного заряда при условии на расстоянии от этого заряда.

В центре правильного -угольника потенциал электростатического поля равен сумме потенциалов электростатических полей каждой из сторон правильного -угольника.

Вычислим потенциал Линейная плотность заряда одной стороны составляет Расстояние от центра правильного -угольника до его стороны составляет Удобно ввести обозначение Тогда Пусть -- середина рассматриваемой стороны. Введём ось абсцисс с началом в точке Заряд, приходящийся на элемент длины рассматриваемой стороны равен а его расстояние до центра правильного -угольника равно Интегрируя вдоль рассматриваемой стороны. получим

Как указано в [2, с. 328, 403], при с точностью до членов порядка


Тогда

Поскольку, согласно [1, с. 369], постольку





Полученный результат представляется необычным. Тем не менее, я получал его несколько раз, решая задачу и другими способами, в течение более чем шести часов. Если Вы найдёте ошибку в моём расчёте, то исправьте её и получите правильный ответ.

Литература
1. Яворский Б. М., Детлаф А. А., Лебедев А. К. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов -- М.: ООО "Издательство Оникс", 2007. -- 1056 с.
2. Фейнмановские лекции по физике. Задачи и упражнения с ответами и решениями -- М.: Мир, 1969. -- 624 с.